Cubes et maximum de sommes

Soient $x_1,x_2,x_3$ et $x_4$ des nombres réels strictement positifs vérifiant $x_1{x}_2{x}_3{x}_4=1$. Montrer que :

$$x_1^3+x_2^3+x_3^3+x_4^3\ge \max \left(x_1+x_2+x_3+x_4,\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}\right).$$

(Iran)