Puissances quatrièmes et terme de Schur

National

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Soient $a, b, c, d$ des réels positifs vérifiant $a + b + c + d = 1$ . Montrer que :

$a^{4} + b^{4} + c^{4} + d^{4} + \frac{148}{27} ab c d \geq \frac{1}{27} .$