Inégalité avec inverses de produits

Régional

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Soient $a, b, c$ des nombres réels strictement positifs. Montrer que :

$\frac{2}{b ( a + b )} + \frac{2}{c ( b + c )} + \frac{2}{a ( c + a )} \geq \frac{27}{( a + b + c ) ^{2}} .$

(Olympiade Balkanique)