Maximisation de somme de carrés avec ordres

National

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Soient $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{100}$ des nombres réels vérifiant :

$a_{1} \geq a_{2} \geq \dots \geq a_{100} \geq 0, a_{1} + a_{2} \leq 100, a_{3} + a_{4} + \dots + a_{100} \leq 100.$

Déterminer la valeur maximale de l'expression : $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{100}^{2}$ .