Inégalité produit avec contrainte de somme

Soient $m$ et $n$ deux entiers strictement positifs. Soient $x_1,x_2,\dots ,x_n$ et $y_1,y_2,\dots ,y_n$ des réels strictement positifs vérifiant :

$$x_1+y_1=x_2+y_2=\cdots =x_n+y_n=1.$$

Montrer que :

$$(1-x_1{x}_2\cdots x_n{)}^m+\left(1-y_1^m\right)\left(1-y_2^m\right)\cdots \left(1-y_n^m\right)\ge 1.$$