Permutation et somme pondérée (OIM 1997)

Soient $x_1,x_2,\dots ,x_n$ des nombres réels vérifiant $|x_1+x_2+\cdots +x_n|=1$ et $|x_i|\le \frac{n+1}{2}$ pour tout $i\in [[1,n]]$. Montrer qu'il existe une permutation $y_1,y_2,\dots ,y_n$ de $x_1,x_2,\dots ,x_n$ telle que :

$$\left|y_1+2y_2+\cdots +n{y}_n\right|\le \frac{n+1}{2}.$$

(OIM, 1997)