Inégalité de Jensen et convexité

Soit $f$ une fonction convexe sur un intervalle $I$ et $x_1,\dots ,x_n\in I$, ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n>0$ avec $\sum {\lambda }_i=1$.

1. Énoncer et démontrer l'inégalité de Jensen : $f\left(\sum _i{\lambda }_i{x}_i\right)\le \sum _i{\lambda }_{i}f(x_i)$.
2. Utiliser Jensen pour montrer que dans un triangle $ABC$ : $\cos A+\cos B+\cos C\le \frac{3}{2}$.
3. Montrer que l'égalité a lieu si et seulement si $A=B=C=60°$.