Inégalité avec contrainte sur produits (Macédoine du Nord)

National

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Soient $a, b, c$ des nombres réels strictement positifs vérifiant $ab + b c + c a = \frac{1}{3}$ . Montrer que :

$\frac{a}{a ^{2} - b c + 1} + \frac{b}{b ^{2} - c a + 1} + \frac{c}{c ^{2} - ab + 1} \geq \frac{1}{a + b + c} .$