Caractérisation des entiers par une somme de parties entières

Soit $x$ un nombre réel. Montrer que $x$ est un entier si, et seulement si, l'égalité $\lfloor x\rfloor +\lfloor 2x\rfloor +\lfloor 3x\rfloor +\cdots +\lfloor nx\rfloor =\frac{n(\lfloor x\rfloor +\lfloor nx\rfloor )}{2}$ est vraie pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.