Existence de x tel que an = ⌊nx⌋

Soient $a_1,a_2,\dots ,a_N$ des entiers naturels vérifiant pour tous $1\le i,j\le N$, $i+j\le N$, les inégalités :

$$a_i+a_j\le a_{i+j}\le a_i+a_j+1.$$

Montrer qu'il existe $x\in \mathbb{R}$ tel que, pour tout $n\in [[1,N]]$, on a : $a_n=\lfloor nx\rfloor$.