📄 Mémento Terminale

🔢 Suites (limites & récurrence)

Tout le chapitre sur une page : formules, méthode, pièges. À lire 5 min avant un contrôle.

📐Formules clés

Récurrence

$(P (n_{0}) vraie) et (P (n) \Rightarrow P (n + 1)) \Rightarrow \forall n \geq n_{0}, P (n)$

Ex :

Initialisation P (0), puis h \overset{e}{ˊ} r \overset{e}{ˊ} dit \overset{e}{ˊ} P (n) \Rightarrow P (n + 1)

Limite d'une suite géométrique

$n \to + \infty lim q^{n} = 0 (- 1 < q < 1), + \infty (q > 1), 1 (q = 1)$

Ex :

n \to + \infty lim 0, 5^{n} = 0

Théorème des gendarmes

$u_{n} \leq v_{n} \leq w_{n} et lim u_{n} = lim w_{n} = ℓ \Rightarrow lim v_{n} = ℓ$

Ex :

- \frac{1}{n} \leq \frac{sin n}{n} \leq \frac{1}{n} \Rightarrow lim \frac{sin n}{n} = 0

Théorème de comparaison

$u_{n} \geq v_{n} et lim v_{n} = + \infty \Rightarrow lim u_{n} = + \infty$

Ex :

u_{n} \geq n^{2} \Rightarrow lim u_{n} = + \infty

Convergence monotone

$Suite croissante et major \overset{e}{ˊ} e \Rightarrow convergente$

Ex :

u_{n} ↗, u_{n} \leq 3 \Rightarrow (u_{n}) converge vers ℓ \leq 3

Somme de termes géométriques

$k = 0 \sum n q^{k} = \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q} (q \neq = 1)$

Ex :

1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n} = 2^{n + 1} - 1

⚠️Pièges à éviter

Ne jamais oublier l'initialisation dans une récurrence : l'hérédité seule ne suffit pas.
Une suite majorée n'est pas forcément convergente (il faut aussi qu'elle soit croissante).
Pour $q^{n}$ avec $q \leq - 1$ , la suite n'a pas de limite (elle oscille).

💡

À retenir

Pour une limite de suite récurrente $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $f$ continue, la limite éventuelle $\ell$ vérifie $f(\ell)=\ell$.

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