📄 Mémento Terminale

⚡ Exponentielle

Tout le chapitre sur une page : formules, méthode, pièges. À lire 5 min avant un contrôle.

📐Formules clés

Relation fonctionnelle

$e^{a + b} = e^{a} \times e^{b}, e^{a - b} = \frac{e ^{a}}{e ^{b}}$

Ex :

e^{3} \times e^{2} = e^{5}

Puissance et opposé

$(e^{a})^{n} = e^{na}, e^{- a} = \frac{1}{e ^{a}}$

Ex :

(e^{2})^{3} = e^{6}

Dérivée

$(e^{x})^{'} = e^{x}, (e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}$

Ex :

(e^{- 3 x})^{'} = - 3 e^{- 3 x}

Limites

$x \to + \infty lim e^{x} = + \infty, x \to - \infty lim e^{x} = 0$

Ex :

x \to - \infty lim e^{x} = 0^{+}

Croissances comparées

$x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x} = + \infty, x \to - \infty lim x e^{x} = 0$

Ex :

x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x ^{2}} = + \infty

Équation usuelle

$e^{a} = e^{b} \Leftrightarrow a = b, e^{x} = k \Leftrightarrow x = ln k (k > 0)$

Ex :

e^{x} = 5 \Leftrightarrow x = ln 5

⚠️Pièges à éviter

$e^{x} > 0$ pour tout réel $x$ : l'exponentielle ne s'annule jamais et est toujours positive.
$e^{a} \times e^{b} = e^{a + b}$ (on additionne les exposants), pas $e^{ab}$ .
$e^{x} = k$ n'a de solution que si $k > 0$ ; $e^{x} = - 2$ est impossible.

💡

À retenir

L'exponentielle transforme les sommes en produits ; c'est la seule fonction égale à sa dérivée avec $f(0)=1$.

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