📄 Mémento Terminale

🧮 Primitives & équations différentielles

Tout le chapitre sur une page : formules, méthode, pièges. À lire 5 min avant un contrôle.

📐Formules clés

Primitives usuelles

$\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C, \int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C$

Ex :

Primitive de x^{2} : \frac{x ^{3}}{3} + C

Primitive de l'exponentielle

$\int e^{x} d x = e^{x} + C, \int u^{'} e^{u} d x = e^{u} + C$

Ex :

\int 2 x e^{x^{2}} d x = e^{x^{2}} + C

Forme u'/u et u'uⁿ

$\int \frac{u ^{'}}{u} d x = ln ∣ u ∣ + C, \int u^{'} u^{n} d x = \frac{u ^{n + 1}}{n + 1} + C$

Ex :

\int \frac{2 x}{x ^{2} + 1} d x = ln (x^{2} + 1) + C

Équation y' = ay

$y^{'} = a y \Leftrightarrow y (x) = C e^{a x} (C \in R)$

Ex :

y^{'} = 3 y \Rightarrow y = C e^{3 x}

Équation y' = ay + b

$y^{'} = a y + b \Leftrightarrow y (x) = C e^{a x} - \frac{b}{a} (a \neq = 0)$

Ex :

y^{'} = 2 y + 4 \Rightarrow y = C e^{2 x} - 2

Condition initiale

$y (x_{0}) = y_{0} \Rightarrow d \overset{e}{ˊ} termine C de fa \overset{c}{¸} on unique$

Ex :

y = C e^{3 x}, y (0) = 2 \Rightarrow C = 2

⚠️Pièges à éviter

Ne jamais oublier la constante $+ C$ dans une primitive (sauf si une condition initiale la fixe).
Une fonction admet une infinité de primitives, toutes égales à $C$ près.
Pour $y^{'} = a y + b$ , la solution particulière constante est $- \frac{b}{a}$ , pas $\frac{b}{a}$ .

💡

À retenir

Dériver pour vérifier : si $F'=f$, alors $F$ est bien une primitive de $f$. C'est le test infaillible.

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