📄 Mémento Terminale

📈 Limites & continuité

Tout le chapitre sur une page : formules, méthode, pièges. À lire 5 min avant un contrôle.

📐Formules clés

Limites usuelles en l'infini

$x \to + \infty lim x^{n} = + \infty, x \to + \infty lim \frac{1}{x ^{n}} = 0$

Ex :

x \to + \infty lim \frac{3}{x ^{2}} = 0

Limite d'un polynôme/quotient

$x \to \pm \infty lim P (x) = x \to \pm \infty lim (terme de plus haut degr \overset{e}{ˊ})$

Ex :

x \to + \infty lim (x^{3} - 5 x) = lim x^{3} = + \infty

Théorème des gendarmes

$f (x) \leq g (x) \leq h (x) et lim f = lim h = ℓ \Rightarrow lim g = ℓ$

Ex :

x \to + \infty lim \frac{cos x}{x} = 0

Continuité et TVI

$f continue sur [a, b], k entre f (a) et f (b) \Rightarrow \exists c, f (c) = k$

Ex :

f (0) = - 1, f (2) = 3 \Rightarrow f s’annule sur] 0, 2 [

Corollaire (strict monotone)

$f continue et strictement monotone \Rightarrow f (x) = k a une unique solution$

Ex :

f ↗ de - 1 \overset{a}{ˋ} 3 \Rightarrow f (x) = 0 unique solution

Asymptote

$x \to + \infty lim (f (x) - (a x + b)) = 0 \Rightarrow y = a x + b asymptote oblique$

Ex :

f (x) = x + \frac{1}{x} \Rightarrow y = x asymptote

⚠️Pièges à éviter

Formes indéterminées $\frac{\infty}{\infty}$ , $\infty - \infty$ , $0 \times \infty$ , $\frac{0}{0}$ : il faut lever l'indétermination (factoriser, conjuguer, terme dominant).
Le TVI donne l'existence d'une solution, pas l'unicité : pour l'unicité il faut la stricte monotonie.
Une fonction peut être définie en $a$ sans y être continue : vérifier $x \to a lim f (x) = f (a)$ .

💡

À retenir

Toute fonction dérivable sur un intervalle y est continue (la réciproque est fausse : $|x|$ continue mais non dérivable en 0).

Autres mémentos — Terminale