📄 Mémento Terminale

📐 Logarithme népérien

Tout le chapitre sur une page : formules, méthode, pièges. À lire 5 min avant un contrôle.

📐Formules clés

Définition

$ln (x) = y \Leftrightarrow e^{y} = x (x > 0)$

Ex :

ln (1) = 0, ln (e) = 1

Relation fonctionnelle

$ln (ab) = ln a + ln b, ln (\frac{a}{b}) = ln a - ln b$

Ex :

ln (6) = ln 2 + ln 3

Puissance

$ln (a^{n}) = n ln a, ln (a) = \frac{1}{2} ln a$

Ex :

ln (8) = ln (2^{3}) = 3 ln 2

Dérivée

$(ln x)^{'} = \frac{1}{x}, (ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$

Ex :

(ln (x^{2} + 1))^{'} = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}

Limites

$x \to 0^{+} lim ln x = - \infty, x \to + \infty lim \frac{ln x}{x} = 0$

Ex :

x \to + \infty lim \frac{ln x}{x} = 0

Équation usuelle

$ln a = ln b \Leftrightarrow a = b (a, b > 0)$

Ex :

ln (x) = 2 \Leftrightarrow x = e^{2}

⚠️Pièges à éviter

$ln$ n'est défini que pour $x > 0$ : toujours poser l'ensemble de définition avant de résoudre.
$ln (a + b) \neq = ln a + ln b$ : la relation fonctionnelle ne marche qu'avec un produit.
Croissances comparées : $ln x$ l'emporte sur rien, $x$ et $e^{x}$ l'emportent sur $ln x$ .

💡

À retenir

$\ln$ et $\exp$ sont réciproques : $\ln(e^x)=x$ et $e^{\ln x}=x$ (pour $x>0$).

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