📄 Mémento Terminale

📦 Géométrie dans l'espace

Tout le chapitre sur une page : formules, méthode, pièges. À lire 5 min avant un contrôle.

📐Formules clés

Représentation paramétrique d'une droite

$x = x_{0} + t a, y = y_{0} + t b, z = z_{0} + t c (u (a, b, c) directeur)$

Ex :

A (1, 0, 2), u (1, 1, - 1) : x = 1 + t, y = t, z = 2 - t

Produit scalaire (coordonnées)

$u \cdot v = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$

Ex :

u (1, 2, 3) \cdot v (0, 1, - 1) = 2 - 3 = - 1

Norme d'un vecteur

$∥ u ∥ = x^{2} + y^{2} + z^{2}$

Ex :

∥ u (2, 1, 2) ∥ = 9 = 3

Orthogonalité

$u ⊥ v \Leftrightarrow u \cdot v = 0$

Ex :

u (1, 0, 1) \cdot v (1, 5, - 1) = 0 \Rightarrow u ⊥ v

Équation cartésienne d'un plan

$a x + b y + cz + d = 0 avec n (a, b, c) normal au plan$

Ex :

2 x - y + 3 z - 5 = 0, n (2, - 1, 3)

Distance point-plan

$d (A, P) = \frac{∣ a x _{A} + b y _{A} + c z _{A} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$

Ex :

A (0, 0, 0), P : 2 x - y + 2 z - 3 = 0 : d = 1

⚠️Pièges à éviter

Un vecteur normal $n (a, b, c)$ se lit directement sur les coefficients de l'équation cartésienne $a x + b y + cz + d = 0$ .
Deux droites peuvent être non coplanaires dans l'espace : ni sécantes, ni parallèles.
Pour montrer qu'une droite est orthogonale à un plan, montrer que son vecteur directeur est colinéaire au vecteur normal.

💡

À retenir

Pour l'équation d'un plan passant par $A$ de normale $\vec{n}$ : écrire $\vec{n}\cdot\vec{AM}=0$, puis remplacer $d$ avec les coordonnées de $A$.

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