Fiche de révision — Terminale

Toutes les formules et pièges de la spécialité Maths de Terminale · lumaths.com

🔢 Suites (limites & récurrence) 📄 mémento →

Récurrence

$(P (n_{0}) vraie) et (P (n) \Rightarrow P (n + 1)) \Rightarrow \forall n \geq n_{0}, P (n)$

Ex :

Initialisation P (0), puis h \overset{e}{ˊ} r \overset{e}{ˊ} dit \overset{e}{ˊ} P (n) \Rightarrow P (n + 1)

Limite d'une suite géométrique

$n \to + \infty lim q^{n} = 0 (- 1 < q < 1), + \infty (q > 1), 1 (q = 1)$

Ex :

n \to + \infty lim 0, 5^{n} = 0

Théorème des gendarmes

$u_{n} \leq v_{n} \leq w_{n} et lim u_{n} = lim w_{n} = ℓ \Rightarrow lim v_{n} = ℓ$

Ex :

- \frac{1}{n} \leq \frac{sin n}{n} \leq \frac{1}{n} \Rightarrow lim \frac{sin n}{n} = 0

Théorème de comparaison

$u_{n} \geq v_{n} et lim v_{n} = + \infty \Rightarrow lim u_{n} = + \infty$

Ex :

u_{n} \geq n^{2} \Rightarrow lim u_{n} = + \infty

Convergence monotone

$Suite croissante et major \overset{e}{ˊ} e \Rightarrow convergente$

Ex :

u_{n} ↗, u_{n} \leq 3 \Rightarrow (u_{n}) converge vers ℓ \leq 3

Somme de termes géométriques

$k = 0 \sum n q^{k} = \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q} (q \neq = 1)$

Ex :

1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n} = 2^{n + 1} - 1

Pièges à éviter

✗ Ne jamais oublier l'initialisation dans une récurrence : l'hérédité seule ne suffit pas.
✗ Une suite majorée n'est pas forcément convergente (il faut aussi qu'elle soit croissante).
✗ Pour $q^{n}$ avec $q \leq - 1$ , la suite n'a pas de limite (elle oscille).

Astuce

Pour une limite de suite récurrente $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $f$ continue, la limite éventuelle $\ell$ vérifie $f(\ell)=\ell$.

📈 Limites & continuité 📄 mémento →

Limites usuelles en l'infini

$x \to + \infty lim x^{n} = + \infty, x \to + \infty lim \frac{1}{x ^{n}} = 0$

Ex :

x \to + \infty lim \frac{3}{x ^{2}} = 0

Limite d'un polynôme/quotient

$x \to \pm \infty lim P (x) = x \to \pm \infty lim (terme de plus haut degr \overset{e}{ˊ})$

Ex :

x \to + \infty lim (x^{3} - 5 x) = lim x^{3} = + \infty

Théorème des gendarmes

$f (x) \leq g (x) \leq h (x) et lim f = lim h = ℓ \Rightarrow lim g = ℓ$

Ex :

x \to + \infty lim \frac{cos x}{x} = 0

Continuité et TVI

$f continue sur [a, b], k entre f (a) et f (b) \Rightarrow \exists c, f (c) = k$

Ex :

f (0) = - 1, f (2) = 3 \Rightarrow f s’annule sur] 0, 2 [

Corollaire (strict monotone)

$f continue et strictement monotone \Rightarrow f (x) = k a une unique solution$

Ex :

f ↗ de - 1 \overset{a}{ˋ} 3 \Rightarrow f (x) = 0 unique solution

Asymptote

$x \to + \infty lim (f (x) - (a x + b)) = 0 \Rightarrow y = a x + b asymptote oblique$

Ex :

f (x) = x + \frac{1}{x} \Rightarrow y = x asymptote

Pièges à éviter

✗ Formes indéterminées $\frac{\infty}{\infty}$ , $\infty - \infty$ , $0 \times \infty$ , $\frac{0}{0}$ : il faut lever l'indétermination (factoriser, conjuguer, terme dominant).
✗ Le TVI donne l'existence d'une solution, pas l'unicité : pour l'unicité il faut la stricte monotonie.
✗ Une fonction peut être définie en $a$ sans y être continue : vérifier $x \to a lim f (x) = f (a)$ .

Astuce

Toute fonction dérivable sur un intervalle y est continue (la réciproque est fausse : $|x|$ continue mais non dérivable en 0).

📉 Dérivation & convexité 📄 mémento →

Dérivée d'un produit

$(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$

Ex :

(x^{2} e^{x})^{'} = 2 x e^{x} + x^{2} e^{x}

Dérivée d'un quotient

$(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$

Ex :

(\frac{x}{x + 1})^{'} = \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}}

Dérivée d'une composée

$(f (u))^{'} = u^{'} \times f^{'} (u)$

Ex :

(e^{2 x})^{'} = 2 e^{2 x}, (u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}

Équation de la tangente

$y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$

Ex :

f (x) = x^{2}, a = 1 : y = 2 (x - 1) + 1 = 2 x - 1

Convexité

$f^{''} (x) \geq 0 \Leftrightarrow f convexe; f^{''} (x) \leq 0 \Leftrightarrow f concave$

Ex :

f (x) = x^{2}, f^{''} (x) = 2 > 0 \Rightarrow convexe

Point d'inflexion

$f^{''} s’annule en changeant de signe en a \Rightarrow inflexion en a$

Ex :

f (x) = x^{3}, f^{''} (x) = 6 x \Rightarrow inflexion en 0

Pièges à éviter

✗ Bien distinguer $f$ croissante (signe de $f^{'}$ ) et $f$ convexe (signe de $f^{''}$ ).
✗ Un point d'inflexion exige que $f^{''}$ change de signe, pas seulement s'annule ( $x^{4}$ : $f^{''} (0) = 0$ sans inflexion).
✗ Pour une composée, ne pas oublier le facteur $u^{'}$ : $(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}$ , pas $e^{u}$ .

Astuce

Convexe = courbe au-dessus de ses tangentes et au-dessous de ses cordes ; concave = l'inverse.

📐 Logarithme népérien 📄 mémento →

Définition

$ln (x) = y \Leftrightarrow e^{y} = x (x > 0)$

Ex :

ln (1) = 0, ln (e) = 1

Relation fonctionnelle

$ln (ab) = ln a + ln b, ln (\frac{a}{b}) = ln a - ln b$

Ex :

ln (6) = ln 2 + ln 3

Puissance

$ln (a^{n}) = n ln a, ln (a) = \frac{1}{2} ln a$

Ex :

ln (8) = ln (2^{3}) = 3 ln 2

Dérivée

$(ln x)^{'} = \frac{1}{x}, (ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$

Ex :

(ln (x^{2} + 1))^{'} = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}

Limites

$x \to 0^{+} lim ln x = - \infty, x \to + \infty lim \frac{ln x}{x} = 0$

Ex :

x \to + \infty lim \frac{ln x}{x} = 0

Équation usuelle

$ln a = ln b \Leftrightarrow a = b (a, b > 0)$

Ex :

ln (x) = 2 \Leftrightarrow x = e^{2}

Pièges à éviter

✗ $ln$ n'est défini que pour $x > 0$ : toujours poser l'ensemble de définition avant de résoudre.
✗ $ln (a + b) \neq = ln a + ln b$ : la relation fonctionnelle ne marche qu'avec un produit.
✗ Croissances comparées : $ln x$ l'emporte sur rien, $x$ et $e^{x}$ l'emportent sur $ln x$ .

Astuce

$\ln$ et $\exp$ sont réciproques : $\ln(e^x)=x$ et $e^{\ln x}=x$ (pour $x>0$).

⚡ Exponentielle 📄 mémento →

Relation fonctionnelle

$e^{a + b} = e^{a} \times e^{b}, e^{a - b} = \frac{e ^{a}}{e ^{b}}$

Ex :

e^{3} \times e^{2} = e^{5}

Puissance et opposé

$(e^{a})^{n} = e^{na}, e^{- a} = \frac{1}{e ^{a}}$

Ex :

(e^{2})^{3} = e^{6}

Dérivée

$(e^{x})^{'} = e^{x}, (e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}$

Ex :

(e^{- 3 x})^{'} = - 3 e^{- 3 x}

Limites

$x \to + \infty lim e^{x} = + \infty, x \to - \infty lim e^{x} = 0$

Ex :

x \to - \infty lim e^{x} = 0^{+}

Croissances comparées

$x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x} = + \infty, x \to - \infty lim x e^{x} = 0$

Ex :

x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x ^{2}} = + \infty

Équation usuelle

$e^{a} = e^{b} \Leftrightarrow a = b, e^{x} = k \Leftrightarrow x = ln k (k > 0)$

Ex :

e^{x} = 5 \Leftrightarrow x = ln 5

Pièges à éviter

✗ $e^{x} > 0$ pour tout réel $x$ : l'exponentielle ne s'annule jamais et est toujours positive.
✗ $e^{a} \times e^{b} = e^{a + b}$ (on additionne les exposants), pas $e^{ab}$ .
✗ $e^{x} = k$ n'a de solution que si $k > 0$ ; $e^{x} = - 2$ est impossible.

Astuce

L'exponentielle transforme les sommes en produits ; c'est la seule fonction égale à sa dérivée avec $f(0)=1$.

🧮 Primitives & équations différentielles 📄 mémento →

Primitives usuelles

$\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C, \int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C$

Ex :

Primitive de x^{2} : \frac{x ^{3}}{3} + C

Primitive de l'exponentielle

$\int e^{x} d x = e^{x} + C, \int u^{'} e^{u} d x = e^{u} + C$

Ex :

\int 2 x e^{x^{2}} d x = e^{x^{2}} + C

Forme u'/u et u'uⁿ

$\int \frac{u ^{'}}{u} d x = ln ∣ u ∣ + C, \int u^{'} u^{n} d x = \frac{u ^{n + 1}}{n + 1} + C$

Ex :

\int \frac{2 x}{x ^{2} + 1} d x = ln (x^{2} + 1) + C

Équation y' = ay

$y^{'} = a y \Leftrightarrow y (x) = C e^{a x} (C \in R)$

Ex :

y^{'} = 3 y \Rightarrow y = C e^{3 x}

Équation y' = ay + b

$y^{'} = a y + b \Leftrightarrow y (x) = C e^{a x} - \frac{b}{a} (a \neq = 0)$

Ex :

y^{'} = 2 y + 4 \Rightarrow y = C e^{2 x} - 2

Condition initiale

$y (x_{0}) = y_{0} \Rightarrow d \overset{e}{ˊ} termine C de fa \overset{c}{¸} on unique$

Ex :

y = C e^{3 x}, y (0) = 2 \Rightarrow C = 2

Pièges à éviter

✗ Ne jamais oublier la constante $+ C$ dans une primitive (sauf si une condition initiale la fixe).
✗ Une fonction admet une infinité de primitives, toutes égales à $C$ près.
✗ Pour $y^{'} = a y + b$ , la solution particulière constante est $- \frac{b}{a}$ , pas $\frac{b}{a}$ .

Astuce

Dériver pour vérifier : si $F'=f$, alors $F$ est bien une primitive de $f$. C'est le test infaillible.

∫ Calcul intégral 📄 mémento →

Définition (primitive)

$a \int b f (x) d x = F (b) - F (a) o \overset{u}{ˋ} F^{'} = f$

Ex :

0 \int 1 x^{2} d x = [\frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{1} = \frac{1}{3}

Relation de Chasles

$a \int c f = a \int b f + b \int c f$

Ex :

0 \int 3 f = 0 \int 1 f + 1 \int 3 f

Linéarité

$a \int b (α f + β g) = α a \int b f + β a \int b g$

Ex :

0 \int 1 (2 x + 3) d x = 2 \cdot \frac{1}{2} + 3 = 4

Intégration par parties

$a \int b u^{'} v = [uv]_{a}^{b} - a \int b u v^{'}$

Ex :

0 \int 1 x e^{x} d x = [x e^{x}]_{0}^{1} - 0 \int 1 e^{x} d x = 1

Valeur moyenne

$μ = \frac{1}{b - a} a \int b f (x) d x$

Ex :

μ de x^{2} sur [0, 1] = \frac{1}{3}

Aire entre deux courbes

$A = a \int b (f (x) - g (x)) d x (f \geq g)$

Ex :

Aire entre x et x^{2} sur [0, 1] = \frac{1}{6}

Pièges à éviter

✗ L'intégrale peut être négative : ce n'est une aire (positive) que si $f \geq 0$ sur $[a, b]$ .
✗ Inverser les bornes change le signe : $a \int b f = - b \int a f$ .
✗ Pour une aire entre deux courbes, toujours mettre la courbe du haut moins celle du bas.

Astuce

Choisir $u$ et $v$ dans l'IPP : dériver le polynôme ($v$) et primitiver l'exponentielle ($u'$) pour simplifier.

🎲 Combinatoire & dénombrement 📄 mémento →

Factorielle

$n! = n \times (n - 1) \times \dots \times 2 \times 1, 0! = 1$

Ex :

5! = 120

Permutations

$Nombre d’ordres de n \overset{e}{ˊ} l \overset{e}{ˊ} ments = n!$

Ex :

3 livres \overset{a}{ˋ} ranger : 3! = 6 fa \overset{c}{¸} ons

Combinaisons

$(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$

Ex :

(2 5) = \frac{120}{2 \times 6} = 10

Symétrie

$(k n) = (n - k n)$

Ex :

(2 5) = (3 5) = 10

Triangle de Pascal

$(k n) + (k + 1 n) = (k + 1 n + 1)$

Ex :

(1 4) + (2 4) = (2 5) = 10

Somme des combinaisons

$k = 0 \sum n (k n) = 2^{n}$

Ex :

(0 3) + (1 3) + (2 3) + (3 3) = 2^{3} = 8

Pièges à éviter

✗ Combinaison = choix sans ordre ( $(k n)$ ) ; si l'ordre compte, ce n'est pas une combinaison.
✗ Cardinal d'une partie : nombre de sous-ensembles de ${1, \dots, n}$ vaut $2^{n}$ , pas $n^{2}$ .
✗ Ne pas confondre $(k n)$ (choisir $k$ parmi $n$ ) et $n^{k}$ (tirages avec remise et ordre).

Astuce

Avec ordre et sans répétition $\to$ on multiplie ($n\times(n-1)\times\dots$) ; sans ordre $\to$ on divise par $k!$ : on obtient $\binom{n}{k}$.

🎯 Probabilités (conditionnelles & variables aléatoires) 📄 mémento →

Probabilité conditionnelle

$P_{A} (B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )} (P (A) \neq = 0)$

Ex :

P (A \cap B) = 0, 2, P (A) = 0, 5 \Rightarrow P_{A} (B) = 0, 4

Formule des probabilités totales

$P (B) = P (A) P_{A} (B) + P (\overline{A}) P_{\overline{A}} (B)$

Ex :

P (B) = 0, 5 \times 0, 4 + 0, 5 \times 0, 2 = 0, 3

Indépendance

$A, B ind \overset{e}{ˊ} pendants \Leftrightarrow P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$

Ex :

P (A) = 0, 5, P (B) = 0, 4 \Rightarrow P (A \cap B) = 0, 2

Espérance

$E (X) = i \sum x_{i} P (X = x_{i})$

Ex :

E (X) = 1 \times 0, 3 + 2 \times 0, 7 = 1, 7

Variance et écart-type

$V (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2}, σ (X) = V (X)$

Ex :

E (X^{2}) = 3, 1, E (X) = 1, 7 \Rightarrow V (X) = 0, 21

Loi binomiale

$P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}, E (X) = n p, V (X) = n p (1 - p)$

Ex :

n = 10, p = 0, 5 : E (X) = 5, V (X) = 2, 5

Pièges à éviter

✗ Bien distinguer $P_{A} (B)$ et $P_{B} (A)$ : ces deux probabilités conditionnelles sont en général différentes.
✗ Incompatibles ( $A \cap B = \emptyset$ ) n'est pas synonyme d'indépendants : ce sont deux notions distinctes.
✗ Loi binomiale : il faut $n$ épreuves identiques, indépendantes et à deux issues (succès/échec).

Astuce

Construire un arbre pondéré : la somme des branches issues d'un nœud vaut 1, et $P(\text{chemin})$ est le produit des branches.

📦 Géométrie dans l'espace 📄 mémento →

Représentation paramétrique d'une droite

$x = x_{0} + t a, y = y_{0} + t b, z = z_{0} + t c (u (a, b, c) directeur)$

Ex :

A (1, 0, 2), u (1, 1, - 1) : x = 1 + t, y = t, z = 2 - t

Produit scalaire (coordonnées)

$u \cdot v = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$

Ex :

u (1, 2, 3) \cdot v (0, 1, - 1) = 2 - 3 = - 1

Norme d'un vecteur

$∥ u ∥ = x^{2} + y^{2} + z^{2}$

Ex :

∥ u (2, 1, 2) ∥ = 9 = 3

Orthogonalité

$u ⊥ v \Leftrightarrow u \cdot v = 0$

Ex :

u (1, 0, 1) \cdot v (1, 5, - 1) = 0 \Rightarrow u ⊥ v

Équation cartésienne d'un plan

$a x + b y + cz + d = 0 avec n (a, b, c) normal au plan$

Ex :

2 x - y + 3 z - 5 = 0, n (2, - 1, 3)

Distance point-plan

$d (A, P) = \frac{∣ a x _{A} + b y _{A} + c z _{A} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$

Ex :

A (0, 0, 0), P : 2 x - y + 2 z - 3 = 0 : d = 1

Pièges à éviter

✗ Un vecteur normal $n (a, b, c)$ se lit directement sur les coefficients de l'équation cartésienne $a x + b y + cz + d = 0$ .
✗ Deux droites peuvent être non coplanaires dans l'espace : ni sécantes, ni parallèles.
✗ Pour montrer qu'une droite est orthogonale à un plan, montrer que son vecteur directeur est colinéaire au vecteur normal.

Astuce

Pour l'équation d'un plan passant par $A$ de normale $\vec{n}$ : écrire $\vec{n}\cdot\vec{AM}=0$, puis remplacer $d$ avec les coordonnées de $A$.

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