📄 Mémento Terminale

📉 Dérivation & convexité

Tout le chapitre sur une page : formules, méthode, pièges. À lire 5 min avant un contrôle.

📐Formules clés

Dérivée d'un produit

$(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$

Ex :

(x^{2} e^{x})^{'} = 2 x e^{x} + x^{2} e^{x}

Dérivée d'un quotient

$(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$

Ex :

(\frac{x}{x + 1})^{'} = \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}}

Dérivée d'une composée

$(f (u))^{'} = u^{'} \times f^{'} (u)$

Ex :

(e^{2 x})^{'} = 2 e^{2 x}, (u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}

Équation de la tangente

$y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$

Ex :

f (x) = x^{2}, a = 1 : y = 2 (x - 1) + 1 = 2 x - 1

Convexité

$f^{''} (x) \geq 0 \Leftrightarrow f convexe; f^{''} (x) \leq 0 \Leftrightarrow f concave$

Ex :

f (x) = x^{2}, f^{''} (x) = 2 > 0 \Rightarrow convexe

Point d'inflexion

$f^{''} s’annule en changeant de signe en a \Rightarrow inflexion en a$

Ex :

f (x) = x^{3}, f^{''} (x) = 6 x \Rightarrow inflexion en 0

⚠️Pièges à éviter

Bien distinguer $f$ croissante (signe de $f^{'}$ ) et $f$ convexe (signe de $f^{''}$ ).
Un point d'inflexion exige que $f^{''}$ change de signe, pas seulement s'annule ( $x^{4}$ : $f^{''} (0) = 0$ sans inflexion).
Pour une composée, ne pas oublier le facteur $u^{'}$ : $(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}$ , pas $e^{u}$ .

💡

À retenir

Convexe = courbe au-dessus de ses tangentes et au-dessous de ses cordes ; concave = l'inverse.

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