Bac spécialité Maths — Polynésie, 18 juin 2025 (Jour 2)

Sauf mention contraire, toute réponse devra être justifiée.

Exercice 1 (5 points)

Dans tout l'exercice, les probabilités seront, si nécessaire, arrondies à $10^{-3}$ près.

Une donnée binaire est une donnée qui ne peut prendre que deux valeurs : 0 ou 1. Une donnée de ce type est transmise successivement d'une machine à une autre.

Chaque machine transmet la donnée reçue soit de manière fidèle, c'est-à-dire en transmettant l'information telle qu'elle l'a reçue (1 devient 1 et 0 devient 0), soit de façon contraire (1 devient 0 et 0 devient 1).

La transmission est fidèle dans 90 % des cas, et donc contraire dans 10 % des cas.

Dans tout l'exercice, la première machine reçoit toujours la valeur 1.

Partie A

Pour tout entier naturel $n⩾1$, on note :

• $V_n$ l'évènement : « la $n$-ième machine détient la valeur 1 » ;
• $\overline{V_n}$ l'évènement : « la $n$-ième machine détient la valeur 0 ».

1. a. Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous.

   [Figure : arbre de probabilité de racine $V_1$, se ramifiant en $V_2$ et $\overline{V_2}$, chacun se ramifiant en $V_3$ et $\overline{V_3}$ ; les probabilités des branches sont à compléter.]

1. 
   b. Démontrer que $P(V_3)=0,82$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
   c. Sachant que la troisième machine a reçu la valeur 1, calculer la probabilité que la deuxième machine ait aussi reçu la valeur 1.
2. Pour tout entier naturel $n⩾1$, on note $p_n=P(V_n)$. La première machine a reçu la valeur 1, on a donc $p_1=1$.
   a. Démontrer que pour tout entier naturel $n⩾1$ : $$p_{n+1}=0,8p_n+0,1.$$
   b. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n⩾1$, $$p_n=0,5\times 0,8^{n-1}+0,5.$$
   c. Calculer la limite de $p_n$ lorsque $n$ tend vers l'infini. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie B

Pour modéliser en langage Python la transmission de la donnée binaire décrite en début d'exercice, on considère la fonction simulation qui prend en paramètre un entier naturel $n$ qui représente le nombre de transmissions réalisées d'une machine à une autre, et qui renvoie la liste des valeurs successives de la donnée binaire.

On donne ci-dessous le script incomplet de cette fonction.

On rappelle que l'instruction rand() renvoie un nombre aléatoire de l'intervalle $[0;1[$.

def simulation(n):
    donnee = 1
    liste = [donnee]
    for k in range(n):
        if rand() <0.1
            donnee = 1 - donnee
        liste.append(donnee)
    return liste

Par exemple, simulation(3) peut renvoyer [1, 0, 0, 1]. Cette liste traduit :

• qu'une donnée binaire a été successivement transmise trois fois entre quatre machines ;
• la première machine qui détient la valeur 1 a transmis de façon contraire cette donnée à la deuxième machine ;
• la deuxième machine a transmis la donnée qu'elle détient de façon fidèle à la troisième ;
• la troisième machine a transmis de façon contraire la donnée qu'elle détient à la quatrième.

1. Déterminer le rôle des instructions des lignes 5 et 6 de l'algorithme ci-dessus.
2. Calculer la probabilité que simulation(4) renvoie la liste $[1,1,1,1,1]$ et la probabilité que simulation(6) renvoie la liste $[1,0,1,0,0,1,1]$.

Exercice 2 (5 points)

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]2;+\infty [$ par $$f(x)=x\ln (x-2).$$

Une partie de la courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$ de la fonction $f$ est donnée ci-dessous.

[Figure : courbe ${\mathcal{C}}_f$ de $f$ sur l'intervalle $]2;+\infty [$. La courbe descend vers $-\infty$ près de $x=2$, coupe l'axe des abscisses en $x=3$, puis croît au-delà.]

1. Conjecturer, à l'aide du graphique, le sens de variation de $f$, ses limites aux bornes de son ensemble de définition ainsi que les éventuelles asymptotes.
2. Résoudre l'équation $f(x)=0$ sur $]2;+\infty [$.
3. Calculer $\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x>2\end{array}}{\lim }f(x)$. Ce résultat confirme-t-il l'une des conjectures faites à la question 1. ?
4. Démontrer que pour tout $x$ appartenant à $]2;+\infty [$ : $$f^{\prime }(x)=\ln (x-2)+\frac{x}{x-2}.$$
5. On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]2;+\infty [$ par $g(x)=f^{\prime }(x)$.
   a. Démontrer que pour tout $x$ appartenant à $]2;+\infty [$, on a : $$g^{\prime }(x)=\frac{x-4}{(x-2{)}^2}.$$
   b. On admet que $\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x>2\end{array}}{\lim }g(x)=+\infty$ et que $\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)=+\infty$. En déduire le tableau des variations de la fonction $g$ sur $]2;+\infty [$. On fera apparaître la valeur exacte de l'extremum de la fonction $g$.
   c. En déduire que, pour tout $x$ appartenant à $]2;+\infty [$, $g(x)>0$.
   d. En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur $]2;+\infty [$.
6. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $]2;+\infty [$ et préciser les coordonnées d'un éventuel point d'inflexion de la courbe représentative de la fonction $f$.
7. Combien de valeurs de $x$ existe-t-il pour lesquelles la courbe représentative de $f$ admet une tangente de coefficient directeur égal à 3 ?

Exercice 3 (5 points)

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $\left(O;\vec{ı},\vec{ȷ},\vec{k}\right)$.

On considère les points suivants :

$$A(1;3;0),B(-1;4;5),C(0;1;0)\text{et}D(-2;2;1).$$

1. Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ déterminent un plan.
2. Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
3. Soit $\Delta$ la droite passant par le point $D$ et de vecteur directeur $\vec{u}\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 1\end{array}\right)$.
   a. Démontrer que la droite $\Delta$ est orthogonale au plan $(ABC)$.
   b. Justifier que le plan $(ABC)$ admet pour équation cartésienne : $$2x-y+z+1=0.$$
   c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
4. On appelle $H$ le point de coordonnées $\left(-\frac{2}{3};\frac{4}{3};\frac{5}{3}\right)$. Vérifier que $H$ est le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(ABC)$.
5. On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par $V=\frac{1}{3}B\times h$, où $B$ est l'aire d'une base du tétraèdre et $h$ est sa hauteur relative à cette base.
   a. Montrer que $DH=\frac{2\sqrt{6}}{3}$.
   b. En déduire le volume du tétraèdre $ABCD$.
6. On considère la droite $d$ de représentation paramétrique : $$\{\begin{array}{l}x=1-2k\\ y=-3k\\ z=1+k\end{array}\text{ouˋ }k\text{ deˊcrit }\mathbb{R}.$$
   La droite $d$ et le plan $(ABC)$ sont-ils sécants ou parallèles ?

Exercice 4 (5 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. Soient $E$ et $F$ les ensembles $E=\{1;2;3;4;5;6;7\}$ et $F=\{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\}$.
   Affirmation n° 1 : Il y a davantage de 3-uplets d'éléments distincts de $E$ que de combinaisons à 4 éléments de $F$.
2. Dans le repère orthonormé ci-contre, on a représenté la fonction carré, notée $f$, ainsi que le carré $ABCD$ de côté 3.
   Affirmation n° 2 : La zone hachurée et le carré $ABCD$ ont la même aire.

   [Figure : la parabole d'équation $y=x^2$ et le carré $ABCD$ de côté 3 avec $A(0;0)$, $B(3;0)$, $C(3;3)$ et $D(0;3)$. La zone hachurée est la partie du carré située à droite de la parabole (entre la courbe, l'axe des abscisses et le côté $[BC]$).]

3. On considère l'intégrale $J$ ci-dessous : $$J=\underset{1}{\overset{2}{\int }}x\ln (x)\mathrm{d}x.$$
   Affirmation n° 3 : Une intégration par parties permet d'obtenir : $J=\frac{7}{11}$.
4. Sur $\mathbb{R}$, on considère l'équation différentielle $$(E):y^{\prime }=2y-e^x.$$
   Affirmation n° 4 : La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^x+e^{2x}$ est solution de l'équation différentielle $(E)$.
5. Soit $x$ donné dans $[0;1[$. On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $$u_n=(x-1)e^n+\cos (n).$$
   Affirmation n° 5 : La suite $(u_n)$ diverge vers $-\infty$.