Exercice 4 – Suite récurrente, changement de variable et limite

On considère la suite $(a_n)$ définie par : $a_0=1$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $a_{n+1}=2a_n+3$.

1. Calculer $a_1$, $a_2$ et $a_3$.
2. On pose $b_n=a_n+\alpha$, où $\alpha$ est un réel à déterminer.
   a) Déterminer $\alpha$ de sorte que $(b_n)$ soit une suite géométrique. Préciser la raison $q$ et le premier terme $b_0$.
   b) Exprimer $b_n$ en fonction de $n$, puis en déduire l'expression de $a_n$ en fonction de $n$.
3. Vérifier le résultat obtenu en calculant $a_3$ à partir de la formule explicite.
4. Étude de la somme. On pose $T_n=a_0+a_1+\dots +a_n$.
   Exprimer $T_n$ en fonction de $n$, puis calculer $T_9$.
5. Quelle est la limite de $\frac{a_n}{2^n}$ quand $n\to +\infty$ ? Justifier.

Soit la suite ($u_n$) définie par $u_0=4$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $u_{n+1}=\frac{1}{2}\times u_n+3$.

1. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
2. Partie A – Suite auxiliaire. On pose $v_n=u_n-6$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.
   1. Montrer que ($v_n$) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
   2. Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
3. Partie B – Monotonie. Étudier la monotonie de la suite ($u_n$).
4. Partie C – Limite. Calculer $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$. Interpréter graphiquement ce résultat.

On considère la suite ($u_n$) définie par :

$u_0=4$   et   $u_{n+1}=\frac{1}{3}\times u_n+2$, pour tout $n\in \mathbb{N}$.

1. Point fixe : Déterminer le réel $\ell$ tel que $\ell =\frac{1}{3}\ell +2$.
2. Suite auxiliaire : On pose $v_n=u_n-\ell$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.
   1. Montrer que ($v_n$) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
   2. Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
3. Démonstration par récurrence : Montrer par récurrence que, pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $u_n>3$.
4. Monotonie et convergence :
   1. Étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$ et en déduire le sens de variation de ($u_n$).
   2. En déduire que ($u_n$) converge et déterminer sa limite.

Exercice 4 — Placement bancaire à Casablanca

Une entreprise casablancaise place un capital sur un compte bancaire. Au début de chaque année, elle dépose 5 000 dirhams supplémentaires. Le compte est rémunéré à un taux annuel de 4%.

On note $C_n$ le capital (en dirhams) disponible sur le compte après la n-ième année (n $\ge$ 1). Le capital initial (avant tout dépôt et toute rémunération) est $C_0=10000$ dirhams.

Le capital évolue selon la relation : $C_{n+1}=1,04\times C_n+5000$.

1. Calculer $C_1$ et $C_2$.
2. On pose $D_n=C_n+a$, où a est un réel à déterminer, de sorte que $(D_n)$ soit une suite géométrique.
   a. Déterminer la valeur de a.
   b. Vérifier que $(D_n)$ est bien géométrique et préciser sa raison.
   c. Exprimer $D_n$ puis $C_n$ en fonction de n.
3. Déterminer au bout de combien d'années le capital dépassera 100 000 dirhams. On admettra que $\log (1,04)\approx 0,0170$ et $\log (3,25)\approx 0,512$.

Exercice 4

On considère la suite $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par : $u_0=3$ et $u_{n+1}=2u_n-5$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

1. Calculer $u_1$, $u_2$.
2. On pose $v_n=u_n-5$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.
   a) Calculer $v_0$.
   b) Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
3. En déduire l'expression de $v_n$ puis de $u_n$ en fonction de n.
4. Calculer la somme $S_n=u_0+u_1+\dots +u_n$ en fonction de n.
5. Étudier le sens de variation de $(u_n)$ et sa limite en $+\infty$.

Exercice 3 — Suite récurrente et encadrement

On considère la suite $(w_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par : $w_0=1$ et $w_{n+1}=\frac{1}{3}\times w_n+2$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

1. Calculer $w_1$, $w_2$ et $w_3$. Ces valeurs vous semblent-elles converger vers une valeur ? Laquelle ?
2. On pose $l=3$ (à admettre ou à retrouver en résolvant $l=\frac{1}{3}\times l+2$). Poser $t_n=w_n-3$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.
   a. Montrer que $(t_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
   b. Exprimer $t_n$ puis $w_n$ en fonction de $n$.
3. Démontrer par récurrence que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $1\le w_n\le 3$.
4. Déterminer $\underset{n\to +\infty }{\lim }{w}_n$ et étudier le sens de variation de $(w_n)$.

Soit ($u_n$) définie par $u_0=2$ et $u_{n+1}=\frac{1}{2}{u}_n+\frac{1}{7}$.

1. Montrer que $u_n\ge \frac{2}{7}$ pour tout n. Montrer que $u_{n+1}-u_n=-\frac{1}{2}(u_n-\frac{2}{7})$, en déduire que ($u_n$) est décroissante et convergente.
2. Soit $v_n=u_n-\frac{2}{7}$. Calculer $v_0$, montrer que ($v_n$) est géométrique de raison $\frac{1}{2}$.
3. En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de n et calculer sa limite.

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et $u_{n+1}=\frac{5u_n-1}{u_n+3}$. On pose $f(x)=\frac{5x-1}{x+3}$ sur $[1,+\infty [$.

1. Montrer que $f$ est strictement croissante sur $[1,+\infty [$ et que $f([1,+\infty [)\subset [1,+\infty [$.
2. Montrer que $f(x)-x=-\frac{(x-1{)}^2}{x+3}$, en déduire que $f(x)\le x$ pour $x\ge 1$.
3. Montrer que $u_n>1$, que $(u_n)$ est décroissante et convergente. Calculer sa limite.
4. Soit $v_n=\frac{1}{u_n-1}$. Montrer que $(v_n)$ est arithmétique de raison $\frac{1}{4}$ et exprimer $u_n$.

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=-\frac{3}{2}$ et $u_{n+1}=\frac{3u_n+4}{u_n+6}$.

1. Montrer par récurrence que $-4<u_n<1$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.
2. Montrer que $(u_n)$ est croissante, qu'elle est convergente, et calculer sa limite.

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=\frac{1}{2}{u}_n+3$.

1. Montrer que la suite $(v_n)$ définie par $v_n=u_n-6$ est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
2. Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
3. Calculer la limite de $(u_n)$.
4. Calculer $S_n=u_0+u_1+\dots +u_n$.

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=1$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=\sqrt{2u_n+3}$.

1. Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $1\le u_n\le 3$.

2. Montrer que $(u_n)$ est croissante.

3. En déduire que $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.

Énoncé

Pour tout entier $n\ge 2$, on pose :

${\pi }_n=\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\times \left(1-\frac{1}{3^2}\right)\times \cdots \times \left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\prod _{k=2}^n\left(1-\frac{1}{k^2}\right).$

1. Calculer ${\pi }_n$ en fonction de $n$.

2. Déterminer la limite de ${\pi }_n$.

Un investisseur place 1000 dirhams dans une entreprise qui double son capital chaque année. Quel sera le capital après 4 ans ?

La suite ($x_n$) est définie par $x_0$ = 5 et x_{n+1} = 0.5 $\times$ $x_n$. Calculez $x_3$.

La suite ($z_n$) est définie par $z_0$ = 1 et z_{n+1} = 3 $\times$ $z_n$. Montrez que cette suite est croissante.

La suite ($m_n$) est définie par $m_0$ = 4 et m_{n+1} = $m_n$ + 6. Calculez $S_5$, la somme des 5 premiers termes.

On considère la suite définie par $u_n=4n+2$. Montrez que cette suite est arithmétique et déterminez sa raison.

On reprend la suite $(u_n)$ : $u_0=1$ et $u_{n+1}=\frac{1}{2}{u}_n+3$.

On admet que $(u_n)$ est croissante et majorée par $6$.

1. Justifier que $(u_n)$ converge.

2. Déterminer sa limite $\ell$.

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$ :

$$u_{n+1}=\sqrt{3u_n+4}.$$

1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a $0⩽u_n⩽4$.

2. Étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$ et en déduire que la suite $(u_n)$ est croissante. (On pourra étudier la fonction associée ou comparer $u_{n+1}^2$ et $u_n^2$.)

3. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.

4. Déterminer la limite $\ell$ de la suite $(u_n)$.

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\frac{1}{2}{u}_n+3$.

1. Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $0\le u_n\le 6$.

2. Étudier le sens de variation de $(u_n)$.

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et, pour tout entier $n⩾0$ :

$$u_{n+1}=\frac{3u_n-1}{u_n+1}.$$

1. Calculer $u_1$ et $u_2$.

2. On admet que, pour tout entier $n⩾0$, $u_n\ne 1$. On pose $v_n=\frac{1}{u_n-1}$. Démontrer que la suite $(v_n)$ est arithmétique, et préciser sa raison et son premier terme $v_0$.

3. Exprimer $v_n$, puis $u_n$, en fonction de $n$.

4. En déduire la limite de la suite $(u_n)$.