Suites — limites et récurrence — Résumé de cours

1ère Année Collège — Lumaths.ma

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Raisonnement par récurrence

Pour démontrer qu'une propriété $P (n)$ est vraie pour tout $n \geq n_{0}$ : on vérifie l'initialisation ( $P (n_{0})$ vraie), puis l'hérédité (si $P (n)$ est vraie alors $P (n + 1)$ l'est).

Limite d'une suite

Une suite $(u_{n})$ converge vers $ℓ$ si tout intervalle ouvert contenant $ℓ$ contient tous les termes à partir d'un certain rang. On note $n \to + \infty lim u_{n} = ℓ$ .

Théorème de convergence monotone : toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge.

Théorème des gendarmes : si $v_{n} \leq u_{n} \leq w_{n}$ et $v_{n}, w_{n} \to ℓ$ , alors $u_{n} \to ℓ$ .

🔑 Formules clés à retenir

Suite géométrique : si $- 1 < q < 1$ alors $q^{n} \to 0$ .
$u_{n} = u_{0} \times q^{n}$ (géométrique), $u_{n} = u_{0} + n r$ (arithmétique).

Suites — limites et récurrence — Fiche d'exercices

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Exercices Faciles

1 exercices

Plan d'épargne : suite géométrique et somme de termes

Facile

Énoncé

Le 1er janvier 2025, Inès place une somme sur un compte rémunéré. On note $u_{n}$ le capital disponible (en euros) le 1er janvier de l'année $2025 + n$ . Ainsi $u_{0} = 800$ . Chaque année, le capital augmente de $4 %$ .

1. Justifier que pour tout entier naturel $n$ , $u_{n + 1} = 1, 04 u_{n}$ . En déduire la nature de la suite $(u_{n})$ et préciser sa raison.

2. Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ .

3. Calculer le capital disponible le 1er janvier 2030 (arrondi au centime).

4. On pose $S_{n} = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n}$ , la somme des capitaux relevés chaque 1er janvier de l'année $2025$ à l'année $2025 + n$ . Exprimer $S_{n}$ en fonction de $n$ , puis calculer $S_{9}$ (arrondi au centime).

5. Déterminer $n \to + \infty lim u_{n}$ .

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Prof Hicham

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Correction détaillée

Exercices Intermédiaires

3 exercices

Convergence et calcul de la limite

Intermédiaire

Énoncé

On reprend la suite $(u_{n})$ : $u_{0} = 1$ et $u_{n + 1} = \frac{1}{2} u_{n} + 3$ .

On admet que $(u_{n})$ est croissante et majorée par $6$ .

1. Justifier que $(u_{n})$ converge.

2. Déterminer sa limite $ℓ$ .

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Correction détaillée

Récurrence, encadrement et convergence d'une suite récurrente

Intermédiaire

Énoncé

On considère la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 1$ et, pour tout entier naturel $n$ :

$u_{n + 1} = 3 u_{n} + 4 .$

1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ , on a $0 ⩽ u_{n} ⩽ 4$ .

2. Étudier le signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ et en déduire que la suite $(u_{n})$ est croissante. (On pourra étudier la fonction associée ou comparer $u_{n + 1}^{2}$ et $u_{n}^{2}$ .)

3. En déduire que la suite $(u_{n})$ est convergente.

4. Déterminer la limite $ℓ$ de la suite $(u_{n})$ .

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Correction détaillée

Récurrence : positivité et majoration

Intermédiaire

Énoncé

On considère la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 1$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n + 1} = \frac{1}{2} u_{n} + 3$ .

1. Démontrer par récurrence que, pour tout $n \in N$ , $0 \leq u_{n} \leq 6$ .

2. Étudier le sens de variation de $(u_{n})$ .

Ma réponse

Prof Hicham

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Correction détaillée

Exercices Difficiles

2 exercices

Suite auxiliaire géométrique pour une relation affine

Difficile

Énoncé

On considère la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 5$ et, pour tout entier naturel $n$ :

$u_{n + 1} = \frac{1}{3} u_{n} + 2.$

On définit la suite auxiliaire $(v_{n})$ par : pour tout entier naturel $n$ , $v_{n} = u_{n} - 3$ .

1. Démontrer que la suite $(v_{n})$ est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.

2. Exprimer $v_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$ .

3. Déterminer $n \to + \infty lim u_{n}$ . Interpréter le résultat à l'aide de la suite $(v_{n})$ .

4. On pose $T_{n} = v_{0} + v_{1} + \dots + v_{n}$ . Exprimer $T_{n}$ en fonction de $n$ , puis déterminer $n \to + \infty lim T_{n}$ .

5. En déduire l'expression de $S_{n} = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n}$ en fonction de $n$ .

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Correction détaillée

Suite auxiliaire géométrique

Difficile

Énoncé

Soit $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 1$ et $u_{n + 1} = \frac{1}{2} u_{n} + 3$ . On pose $v_{n} = u_{n} - 6$ .

1. Démontrer que $(v_{n})$ est géométrique. Préciser sa raison et $v_{0}$ .

2. En déduire $u_{n}$ en fonction de $n$ , puis retrouver $n \to + \infty lim u_{n}$ .

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Récurrence, encadrement et convergence d'une suite récurrente

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Suite auxiliaire géométrique pour une relation affine

Suite auxiliaire géométrique

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