Géométrie dans l’espace — Résumé de cours

1ère Année Collège — Lumaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

1. Vecteurs de l'espace

La notion de vecteur se généralise de la même façon que dans le plan. Un vecteur $u$ est défini par une direction, un sens et une longueur (sa norme $∥ u ∥$ ). Les opérations restent identiques : somme de deux vecteurs (relation de Chasles $A B + B C = A C$ ), multiplication par un réel, et toutes les règles de calcul vectoriel du plan s'appliquent. La principale nouveauté est qu'on travaille désormais en trois dimensions.

Deux vecteurs $u$ et $v$ sont toujours coplanaires (ils déterminent au plus un plan), mais dans l'espace il faut trois vecteurs pour engendrer tout l'espace.

2. Bases et repères de l'espace

Trois vecteurs $i$ , $j$ , $k$ forment une base de l'espace s'ils ne sont pas coplanaires. Tout vecteur $u$ se décompose alors de manière unique : $u = x i + y j + z k$ .

Un repère de l'espace est la donnée d'un point origine $O$ et d'une base $(i, j, k)$ , noté $(O; i, j, k)$ . Le repère est dit orthonormé si les trois vecteurs sont deux à deux orthogonaux et de norme $1$ . On travaillera le plus souvent dans un repère orthonormé.

3. Coordonnées d'un point et d'un vecteur

Dans un repère $(O; i, j, k)$ , un point $M$ a pour coordonnées $(x; y; z)$ si $O M = x i + y j + z k$ . Pour deux points $A (x_{A}; y_{A}; z_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B}; z_{B})$ :

$A B x_{B} - x_{A} y_{B} - y_{A} z_{B} - z_{A}$ , le milieu $I$ de $[A B]$ a pour coordonnées $(\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; \frac{y _{A} + y _{B}}{2}; \frac{z _{A} + z _{B}}{2})$ .

En repère orthonormé, la norme se calcule par $∥ A B ∥ = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2}$ , ce qui donne la distance $A B$ . Exemple : pour $A (1; 0; 2)$ et $B (3; 1; 2)$ , on a $A B 210$ et $A B = 4 + 1 + 0 = 5$ .

4. Colinéarité et coplanarité

Deux vecteurs $u$ et $v$ sont colinéaires s'il existe un réel $k$ tel que $v = k u$ (ou si l'un est nul). Trois points $A$ , $B$ , $C$ sont alignés si et seulement si $A B$ et $A C$ sont colinéaires.

Trois vecteurs $u$ , $v$ , $w$ sont coplanaires s'il existe des réels $a$ et $b$ tels que $w = a u + b v$ (avec $u$ et $v$ non colinéaires). Quatre points $A$ , $B$ , $C$ , $D$ sont coplanaires si et seulement si $A D$ se décompose sur $A B$ et $A C$ , c'est-à-dire s'il existe $a, b$ tels que $A D = a A B + b A C$ .

5. Produit scalaire dans l'espace

Le produit scalaire de deux vecteurs $u$ et $v$ se définit comme dans le plan : $u \cdot v = \frac{1}{2} (∥ u ∥^{2} + ∥ v ∥^{2} - ∥ u - v ∥^{2})$ , ou encore $u \cdot v = ∥ u ∥ \times ∥ v ∥ \times cos (u, v)$ .

En repère orthonormé, l'expression analytique est très simple. Si $u x y z$ et $v x^{'} y^{'} z^{'}$ , alors $u \cdot v = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$ . En particulier $∥ u ∥^{2} = u \cdot u = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ .

6. Orthogonalité

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul : $u ⊥ v ⟺ u \cdot v = 0$ . Deux droites sont orthogonales si leurs vecteurs directeurs le sont. Exemple : $u 12 - 1$ et $v 3 - 1 1$ vérifient $u \cdot v = 3 - 2 - 1 = 0$ : ils sont orthogonaux.

Un vecteur est orthogonal à un plan s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan : il est alors orthogonal à tout vecteur du plan.

7. Représentation paramétrique d'une droite

Une droite $d$ est déterminée par un point $A (x_{A}; y_{A}; z_{A})$ et un vecteur directeur $u a b c$ non nul. Un point $M (x; y; z)$ appartient à $d$ si et seulement si $A M = t u$ pour un réel $t$ . On obtient la représentation paramétrique :

$⎩ ⎨ ⎧ x = x_{A} + a t y = y_{A} + b t z = z_{A} + c t, t \in R$ .

Chaque valeur du paramètre $t$ donne un point de la droite. Exemple : la droite passant par $A (1; 2; 0)$ de vecteur directeur $u 1 - 1 2$ a pour représentation $⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + t y = 2 - t z = 2 t$ .

8. Équation cartésienne d'un plan et vecteur normal

Un vecteur normal à un plan $P$ est un vecteur non nul $n a b c$ orthogonal à $P$ . Un plan est entièrement déterminé par un point $A$ et un vecteur normal $n$ : le point $M$ appartient à $P$ si et seulement si $A M \cdot n = 0$ .

On en déduit l'équation cartésienne du plan : $a x + b y + cz + d = 0$ , où $(a; b; c)$ sont les coordonnées d'un vecteur normal et $d$ se détermine en utilisant les coordonnées d'un point du plan. Réciproquement, toute équation de la forme $a x + b y + cz + d = 0$ (avec $(a, b, c) \neq = (0, 0, 0)$ ) est l'équation d'un plan admettant $n a b c$ pour vecteur normal.

9. Positions relatives de droites

Dans l'espace, deux droites peuvent être : coplanaires (sécantes ou parallèles) ou non coplanaires. Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires (strictement parallèles si elles n'ont aucun point commun, confondues sinon). Si les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires, les droites sont sécantes (un point commun) ou non coplanaires (aucun point commun et non parallèles).

10. Positions relatives droite/plan et plan/plan

Une droite $d$ de vecteur directeur $u$ et un plan $P$ de vecteur normal $n$ : si $u \cdot n = 0$ , la droite est parallèle au plan (incluse dans $P$ ou strictement parallèle) ; si $u \cdot n \neq = 0$ , la droite est sécante au plan en un unique point.

Deux plans de vecteurs normaux $n_{1}$ et $n_{2}$ sont parallèles si $n_{1}$ et $n_{2}$ sont colinéaires (confondus ou strictement parallèles), et sécants (selon une droite) sinon.

11. Intersections

Pour déterminer une intersection, on combine les représentations. Intersection d'une droite (paramétrée par $t$ ) et d'un plan (équation cartésienne) : on remplace $x$ , $y$ , $z$ par leurs expressions en $t$ dans l'équation du plan, on résout en $t$ , puis on calcule le point. Intersection de deux plans : on résout le système des deux équations cartésiennes, ce qui donne (si les plans sont sécants) une représentation paramétrique de la droite d'intersection.

12. Distances

La distance d'un point $A (x_{A}; y_{A}; z_{A})$ à un plan $P : a x + b y + cz + d = 0$ (repère orthonormé) vaut $dist (A, P) = \frac{∣ a x _{A} + b y _{A} + c z _{A} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$ . C'est la longueur du segment reliant $A$ à son projeté orthogonal $H$ sur le plan. La distance entre deux points se calcule par la formule de la norme vue plus haut.

✍️ Exemples résolus & démonstrations

Exemple 1 — Équation cartésienne d'un plan à partir d'un vecteur normal

Énoncé. Dans un repère orthonormé de l'espace, déterminer une équation cartésienne du plan $P$ passant par le point $A (1; 2; - 1)$ et admettant le vecteur $n (2; - 1; 3)$ pour vecteur normal.

Solution.

Un plan de vecteur normal $n (a; b; c)$ admet une équation cartésienne de la forme $a x + b y + cz + d = 0$ . Ici $a = 2$ , $b = - 1$ , $c = 3$ , donc l'équation s'écrit $2 x - y + 3 z + d = 0.$
On détermine $d$ en utilisant le fait que $A (1; 2; - 1)$ appartient à $P$ , donc ses coordonnées vérifient l'équation : $2 \times 1 - 2 + 3 \times (- 1) + d = 0.$
On calcule : $2 - 2 - 3 + d = 0$ , soit $- 3 + d = 0$ , d'où $d = 3$ .
Une équation cartésienne de $P$ est donc $2 x - y + 3 z + 3 = 0.$
Vérification. En remplaçant les coordonnées de $A$ : $2 \times 1 - 2 + 3 \times (- 1) + 3 = 2 - 2 - 3 + 3 = 0$ . ✓ Le point $A$ appartient bien au plan, et les coefficients $(2; - 1; 3)$ de $x$ , $y$ , $z$ redonnent le vecteur normal $n$ .

Exemple 2 — Intersection d'une droite et d'un plan

Énoncé. On considère la droite $D$ passant par $B (1; 0; 2)$ et de vecteur directeur $u (1; 2; - 1)$ , ainsi que le plan $P$ d'équation cartésienne $x + y + z - 4 = 0$ . Déterminer les coordonnées du point d'intersection de $D$ et de $P$ .

Solution.

On écrit une représentation paramétrique de $D$ : pour $t \in R$ , $⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + t y = 2 t z = 2 - t$
On cherche d'abord si $D$ et $P$ sont sécants. Le vecteur normal de $P$ est $n (1; 1; 1)$ . On calcule $u \cdot n = 1 \times 1 + 2 \times 1 + (- 1) \times 1 = 1 + 2 - 1 = 2 \neq = 0$ : la droite n'est pas parallèle au plan, ils sont donc sécants en un unique point.
On reporte les expressions paramétriques de $x$ , $y$ , $z$ dans l'équation du plan : $(1 + t) + (2 t) + (2 - t) - 4 = 0.$
On développe et on réduit : $1 + t + 2 t + 2 - t - 4 = 0$ , soit $2 t - 1 = 0$ , d'où $t = \frac{1}{2}$ .
On remplace $t = \frac{1}{2}$ dans la représentation paramétrique : $x = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}, y = 2 \times \frac{1}{2} = 1, z = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} .$ Le point d'intersection est $I (\frac{3}{2}; 1; \frac{3}{2})$ .
Vérification. On teste les coordonnées de $I$ dans l'équation du plan : $\frac{3}{2} + 1 + \frac{3}{2} - 4 = 3 + 1 - 4 = 0$ . ✓ Le point $I$ appartient bien à $P$ .

Exemple 3 — Distance d'un point à un plan

Énoncé. Le repère étant orthonormé, on donne le plan $P$ d'équation $2 x - 2 y + z + 5 = 0$ et le point $C (2; 3; - 1)$ . Calculer la distance du point $C$ au plan $P$ , puis en déduire les coordonnées du projeté orthogonal $H$ de $C$ sur $P$ .

Solution.

On utilise la formule de la distance d'un point $C (x_{C}; y_{C}; z_{C})$ à un plan d'équation $a x + b y + cz + d = 0$ (repère orthonormé) : $d (C, P) = \frac{∣ a x _{C} + b y _{C} + c z _{C} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}} .$ Ici $a = 2$ , $b = - 2$ , $c = 1$ , $d = 5$ .
On calcule le numérateur : $∣ 2 \times 2 + (- 2) \times 3 + 1 \times (- 1) + 5 ∣ = ∣ 4 - 6 - 1 + 5 ∣ = ∣ 2 ∣ = 2.$
On calcule le dénominateur : $2^{2} + (- 2)^{2} + 1^{2} = 4 + 4 + 1 = 9 = 3.$
D'où la distance : $d (C, P) = \frac{2}{3} .$
Pour le projeté orthogonal $H$ , on suit la droite passant par $C$ et de vecteur normal $n (2; - 2; 1)$ : $⎩ ⎨ ⎧ x = 2 + 2 t y = 3 - 2 t z = - 1 + t$ On reporte dans l'équation de $P$ : $2 (2 + 2 t) - 2 (3 - 2 t) + (- 1 + t) + 5 = 0$ , soit $4 + 4 t - 6 + 4 t - 1 + t + 5 = 0$ , c'est-à-dire $9 t + 2 = 0$ , d'où $t = - \frac{2}{9}$ .
On obtient $H (2 - \frac{4}{9}; 3 + \frac{4}{9}; - 1 - \frac{2}{9}) = H (\frac{14}{9}; \frac{31}{9}; - \frac{11}{9}) .$ Vérification. La distance $C H$ vaut $∣ t ∣ \times ∥ n ∥ = \frac{2}{9} \times 3 = \frac{2}{3}$ , ce qui confirme le résultat trouvé. ✓

🔑 Formules clés à retenir

Produit scalaire (analytique, repère orthonormé) : $u \cdot v = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$ avec $u x y z$ et $v x^{'} y^{'} z^{'}$ .
Orthogonalité : $u ⊥ v ⟺ u \cdot v = 0$ .
Norme et distance : $∥ A B ∥ = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2}$ .
Équation cartésienne d'un plan : $a x + b y + cz + d = 0$ , de vecteur normal $n a b c$ .
Caractérisation d'un plan : $M \in P ⟺ A M \cdot n = 0$ .
Représentation paramétrique d'une droite de point $A$ et vecteur directeur $u a b c$ : $⎩ ⎨ ⎧ x = x_{A} + a t y = y_{A} + b t z = z_{A} + c t, t \in R$ .
Distance point/plan : $dist (A, P) = \frac{∣ a x _{A} + b y _{A} + c z _{A} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$ .
Colinéarité : $u$ et $v$ colinéaires $⟺ \exists k \in R, v = k u$ .
Coplanarité de 4 points : $A, B, C, D$ coplanaires $⟺ \exists a, b, A D = a A B + b A C$ .

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

Vecteur normal $\neq =$ vecteur directeur. Le vecteur normal $n$ est orthogonal au plan ; ses coordonnées sont les coefficients $(a; b; c)$ de l'équation $a x + b y + cz + d = 0$ . Le vecteur directeur $u$ donne la direction d'une droite. Ne pas confondre : pour une droite parallèle à un plan, on a $u \cdot n = 0$ (et non $u = n$ ).
Coplanarité : tester la non-colinéarité d'abord. Avant de chercher $A D = a A B + b A C$ , vérifier que $A B$ et $A C$ ne sont pas colinéaires, sinon les trois premiers points sont déjà alignés et le raisonnement s'effondre.
Produit scalaire analytique : repère orthonormé obligatoire. La formule $u \cdot v = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$ n'est valable que dans un repère orthonormé. Vérifier cette hypothèse avant de l'utiliser.
Distance point/plan : ne pas oublier la valeur absolue. Le numérateur $∣ a x_{A} + b y_{A} + c z_{A} + d ∣$ doit toujours être positif. Oublier les barres donne parfois un résultat négatif aberrant.
Parallélisme $\neq =$ inclusion. Si $u \cdot n = 0$ , la droite peut être incluse dans le plan : toujours tester un point pour trancher.
Paramètres distincts pour deux objets. Pour intersecter deux droites paramétrées, utiliser deux paramètres différents (par exemple $t$ et $s$ ), jamais le même.
Un vecteur normal est défini à un facteur près. $n 24 - 2$ et $n 12 - 1$ conviennent tous deux : on peut toujours simplifier.

Géométrie dans l’espace — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Lumaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

50 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 50 corrigés

Exercices Faciles

22 exercices

Pavé droit — Orthogonalité et produit scalaire

Facile

Énoncé

Exercice 1 — Pavé droit, orthogonalité et produit scalaire

On considère un pavé droit ABCDA'B'C'D' de dimensions AB = 3, AD = 2 et AA' = 4. On munit l'espace d'un repère orthonormé (A ; i, j, k) tel que :

A = (0 ; 0 ; 0)
B = (3 ; 0 ; 0)
D = (0 ; 2 ; 0)
A' = (0 ; 0 ; 4)

1. Donner les coordonnées des sommets C, B', C', D'.

2. Calculer les coordonnées des vecteurs $A B$ et $A C^{'}$ .

3. En utilisant le produit scalaire, montrer que les diagonales AC' et BD' ne sont pas orthogonales.

4. Calculer la longueur de la grande diagonale AC' du pavé.

Ma réponse

Géométrie dans l’espace

Géométrie dans l’espace — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

1. Vecteurs de l'espace

2. Bases et repères de l'espace

3. Coordonnées d'un point et d'un vecteur

4. Colinéarité et coplanarité

5. Produit scalaire dans l'espace

6. Orthogonalité

7. Représentation paramétrique d'une droite

8. Équation cartésienne d'un plan et vecteur normal

9. Positions relatives de droites

10. Positions relatives droite/plan et plan/plan

11. Intersections

12. Distances

✍️ Exemples résolus & démonstrations

Exemple 1 — Équation cartésienne d'un plan à partir d'un vecteur normal

Exemple 2 — Intersection d'une droite et d'un plan

Exemple 3 — Distance d'un point à un plan

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

Géométrie dans l’espace — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Pavé droit — Orthogonalité et produit scalaire

Pyramide à base carrée — Volume et hauteur

Pyramide à base carrée – aire et volume

Pavé droit et section plane — Bac Sénégal 2023

Angle dièdre entre deux plans

Norme du vecteur OA pour A(3,4,5)

Coordonnées de OA dans le repère (O, i, j, k)

Produit scalaire de u(1,2,3) et v(4,-1,0)

Déterminer les coordonnées du vecteur OA pour A(3,4,5)

Produit scalaire de u(1,2,3) et v(4,-5,6)

Produit scalaire de u(1,2,3) et v(4,5,6)

Norme du vecteur w(2, -3, 6)

Norme du vecteur w(-2, 3, 6)

Produit scalaire simple

a(1,2,3) et b(-6,3,2) sont-ils orthogonaux ?

Coordonnées d'un point dans l'espace

u(2,-1,3) et v(3,6,-4) sont-ils orthogonaux ?

Orthogonalité de deux droites et distance d'un point à un plan

Produit scalaire et équation d'un plan

Produit scalaire de vecteurs, vecteur normal et distance d'un point à un plan

Vecteurs dans l'espace — opérations

Équation d'un plan — vecteur normal

Exercices Intermédiaires

Section d'une pyramide par un plan parallèle à la base

Cône et sphère inscrite — Optimisation de volume

Repérage dans l'espace, équation de plan et distance

Sphère, cône et optimisation de volume

Prisme droit à base triangulaire et sphère inscrite

Produit vectoriel

Colinéarité de u(2,4,6) et v(1,2,3) : démonstration directe

Distance entre deux points dans l'espace

Montrer que u(2,4,6) et v(1,2,3) sont colinéaires

Calcul de l'aire d'un parallélogramme

Aire d'un triangle

Intersection d'une droite et d'un plan

Position relative d'une droite et d'un plan, point d'intersection

Position relative d'une droite et d'un plan

Distance d'un point à un plan

Exercices Difficiles

Pavé droit, produit scalaire et angles dans l'espace

Solides composés et problème d'optimisation — silo agricole

Solide composé : cône surmonté d'une demi-sphère

Coordonnées d'un vecteur

Projection d'un vecteur

Volume du tétraèdre ABCD à coordonnées quelconques

Équation de la droite passant par deux points

Volume du tétraèdre ABCD aux sommets du repère

Projeté orthogonal et distance d'un point à un plan

Projeté orthogonal d'un point sur un plan et distance à une droite

Projeté orthogonal d'un point sur un plan et droite parallèle à un plan

Intersection de plans — droite commune

Sphère — équation et propriétés

Exercices supplémentaires

—