On pose $I_n=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^n\cdot e^{x}dx$ pour $n\in \mathbb{N}$.

1. Calculer $I_0$.
2. Montrer que $I_n=e-n\cdot I_{n-1}$ pour $n\ge 1$ (relation de récurrence).
3. Calculer $I_1$, $I_2$, $I_3$.
4. Montrer que $0<I_n<\frac{e}{n+1}$ pour tout $n\ge 0$.
5. En déduire que $\underset{n\to +\infty }{\lim }n!\cdot I_n=e-\sum _{k=0}^{\infty }\frac{1}{k!}=0$ (interprétation via l'exponentielle).

Étude d'une fonction

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x-2+x{e}^{2-x}$, de courbe $(C_f)$. On admet que pour tout réel $x$, $f^{\prime }(x)=(1-x)e^{2-x}+1\ge 0$.

1. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$.
2. Dresser le tableau de variations de $f$.
3. Montrer que la droite $(\Delta ):y=x-2$ est asymptote oblique à $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$, et étudier la position relative de $(C_f)$ et $(\Delta )$.
4. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$, avec $0<\alpha <1$.

Limites et asymptotes

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=2x+\frac{e^x}{e^x-1}$.

1. Vérifier que $D_f={\mathbb{R}}^{\ast }$.
2. Calculer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)$, puis interpréter graphiquement.
3. Montrer que la droite $(D):y=2x+1$ est asymptote oblique à $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$, et étudier la position relative de $(C_f)$ et $(D)$ sur $]0;+\infty [$.

A) Soit $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=(1-x)e^{2-x}+1$. Montrer que $g(x)\ge 0$ pour tout réel $x$.

B) Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x-2+x{e}^{2-x}$.

1. Calculer $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$.

2. Montrer que $f^{\prime }(x)=g(x)$ pour tout réel $x$ et en déduire le sens de variation de $f$.

3. Montrer que le point $A(2;2)$ est un point d'inflexion de la courbe et déterminer la tangente $(T)$ en ce point.

Énoncé

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=x+\ln (|e^x-1|)$.

1. Déterminer $D_f$, puis calculer $f(-\ln 2)$, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$.

2. Montrer que pour tout $x\in D_f$ : $f^{\prime }(x)=\frac{2e^x-1}{e^x-1}$, puis dresser le tableau de variations de $f$.

3. Montrer que la droite $(\Delta ):y=2x$ est asymptote oblique à $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$, et étudier la position relative de $(C_f)$ et $(\Delta )$ sur $]0;+\infty [$.

4. Montrer que la droite $({\Delta }^{\prime }):y=x$ est asymptote oblique à $(C_f)$ au voisinage de $-\infty$.

5. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha \in ]0;\ln 2[$.

Énoncé

Pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on considère la fonction $g_n$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g_n(x)=x+e^{-nx}$, de courbe $(C_n)$.

1. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }{g}_n(x)$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }{g}_n(x)$, puis étudier les branches infinies de $(C_n)$.

2. Étudier la position relative de $(C_2)$ par rapport à $(C_1)$.

3. Étudier le sens de variation de $g_n$ sur $\mathbb{R}$, en déduire que $g_n$ admet une valeur minimale $u_n$, puis calculer $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$.

Énoncé

Soit $n\in \mathbb{N}$ tel que $n\ge 3$. On considère la fonction $g_n$ définie sur $]0;+\infty [$ par $g_n(x)=nx+2\ln x$.

1. Étudier le sens de variation de $g_n$ sur $]0;+\infty [$.

2. Montrer que pour tout $x\in ]0;+\infty [$, $\sqrt{x}>\ln x$.

3. Montrer que l'équation $g_n(x)=0$ admet une unique solution ${\alpha }_n$ dans $]0;+\infty [$, et que $\frac{1}{n}<{\alpha }_n<\frac{1}{\sqrt{n}}$. En déduire $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\alpha }_n$.

Résoudre l'équation suivante : $e^{2x}+3e^x-4=0$.

Une population de 2000 individus croît selon la loi $N(t)=N_0\times e^{kt}$ avec $k=0.05$. Quelle sera la population après 15 ans ?

Calculez la dérivée de la fonction $h(x)=\exp (3x^2+2x)$ au point $x=0$.

Une ville , Marrakech, a une population initiale de 100 000 habitants. On sait que la population augmente selon un modèle exponentiel avec un taux de croissance de 5% par an. Calculer la population de la ville après 10 ans. Ensuite, déterminer le temps nécessaire pour que la population atteigne 200 000 habitants.

Exercice 6 — Inégalité et étude de fonction avancée

On considère la fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=e^x-x-1$.

Partie A — Inégalité fondamentale

1. Calculer $f^{\prime }(x)$ et $f^{\prime \prime }(x)$. Dresser le tableau de variations de f.
2. En déduire que pour tout réel x : $e^x\ge x+1$, avec égalité si et seulement si $x=0$. On dit que c'est l'inégalité de convexité de l'exponentielle.

Partie B — Application à une fonction

On considère la fonction g définie sur $]0;+\infty [$ par : $g(x)=e^x-e\cdot x$.

3. Étudier les variations de g et déterminer son minimum.
4. En utilisant le résultat de la Partie A, montrer que pour tout $x>0$ : $e^x\ge e\cdot x$, avec égalité si et seulement si $x=1$. (On pourra appliquer l'inégalité de la Partie A à une valeur bien choisie.)

Partie C — Généralisation

5. Soit a un réel strictement positif. En appliquant l'inégalité de la Partie A à $x-1$, montrer que pour tout $x>0$ : $e^x\ge e\cdot x$ (retrouver ce résultat par une autre méthode).
6. Plus généralement, montrer que pour tout réel a et tout réel x : $e^x\ge e^a(x-a+1)$. Interpréter géométriquement ce résultat.

Exercice 6 — Inégalité fondamentale et conséquences

L'objectif de cet exercice est de démontrer et d'exploiter l'inégalité $e^x\ge 1+x$ pour tout $x\in \mathbb{R}$.

1. Soit $h(x)=e^x-1-x$. Calculer $h^{\prime }(x)$, étudier les variations de $h$ et en déduire que $e^x\ge 1+x$ pour tout $x\in \mathbb{R}$, avec égalité si et seulement si $x=0$.
2. En substituant $x$ par $-x$ dans l'inégalité précédente, montrer que : $1-x\le e^{-x}\le \frac{1}{1+x}$ pour tout $x\in ]-1;+\infty [$, $x\ne 0$. (On admettra la deuxième inégalité si nécessaire, mais on justifiera la première.)
3. On considère la suite $(v_n)$ définie pour $n\ge 1$ par $v_n=n\cdot (e^{1/n}-1)$. En utilisant l'inégalité de la question 1 avec $x=1/n$, montrer que $v_n\ge 1$ pour tout $n\ge 1$.
4. Montrer également que $v_n\le n\cdot \frac{e^{1/n}}{n+1}$ $\times$ ... En utilisant la croissance comparée ou un encadrement adapté, montrer que $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=1$.
5. On pose $w_n={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$. En utilisant l'inégalité $e^x\ge 1+x$ avec $x=1/n$, montrer que $w_n\le e$ pour tout $n\ge 1$, puis que la suite $(w_n)$ est croissante.