Soit $f(x)=(x^2-1)\cdot e^{-x}$.

1. Déterminer le domaine de définition de f.
2. Calculer les limites de f en $-\infty$ et en $+\infty$.
3. Calculer $f^{\prime }(x)$ et étudier son signe.
4. Dresser le tableau de variation de f.
5. Déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse 0.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=\frac{x^2-6x+5}{x-5}$ si $x\ne 5$, et $f(5)=4$.

1. Étudier la dérivabilité de $f$ en $5$.
2. En déduire l'équation de la tangente à $C_f$ au point d'abscisse $5$.

On considère la fonction $f(x)=\sqrt{\frac{2x}{3x+1}}$.

1. Déterminer le domaine de définition $D_f$.
2. Calculer $f^{\prime }(x)$ et étudier son signe sur $D_f$.

Soit $f$ la fonction définie sur $I=[1;+\infty [$ par $f(x)=1+\frac{1}{\sqrt{x}}$, et $(U_n)$ la suite définie par $U_0=2$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $U_{n+1}=f(U_n)$.

1. Montrer que l'équation $f(x)=x$ admet une unique solution $\alpha \in \left]1;2\right[$.
2. Montrer que pour tout $x\in [1;+\infty [$ : $|f^{\prime }(x)|\le \frac{1}{2}$.
3. a) Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $1\le U_n\le 2$. b) En déduire que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $|U_{n+1}-\alpha |\le \frac{1}{2}|U_n-\alpha |$. c) Déterminer $\underset{n\to +\infty }{\lim }{U}_n$.

Étudiez la fonction $f(x)=e^x-2x$ sur $\mathbb{R}$.

Soit la fonction $f$ définie par $f(x)=\sin (2x)$. Calculez $f^{\prime }(x)$ en utilisant la règle de dérivation des fonctions composées.

Soit la fonction f définie par $f(x)=x^2-4x+4$ sur l'intervalle $[0,4]$. Vérifiez si les conditions du théorème de Rolle sont satisfaites et déterminez $c$ tel que $f^{\prime }(c)=0$.

Soit la fonction $f$ définie par $f(x)=x^2-4$ sur l'intervalle $[-2,2]$. Vérifier les conditions du théorème de Rolle et appliquer-le.

Exercice 3 — Théorème des accroissements finis et inégalités

On considère la fonction $h$ définie sur $[0,+\infty [$ par : $h(x)=\sqrt{1+x}$.

1. Vérifier que $h$ est continue sur $[0,+\infty [$ et dérivable sur $]0,+\infty [$. Calculer $h^{\prime }(x)$.
2. Appliquer le théorème des accroissements finis (TAF) à $h$ sur l'intervalle $[0,x]$ pour $x>0$. En déduire qu'il existe $c\in ]0,x[$ tel que $\sqrt{1+x}-1=\frac{x}{2\sqrt{1+c}}$.
3. En utilisant le fait que $0<c<x$, montrer les inégalités suivantes pour tout $x>0$ :
   $1+\frac{x}{2\sqrt{1+x}}<\sqrt{1+x}<1+\frac{x}{2}$.
4. Déduire un encadrement de $\sqrt{1,04}$ à $10^{-3}$ près. (On prendra $x=0,04$.)

Exercice 4 — Étude complète d'une fonction à base exponentielle

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=(x-1)e^x+1$.

On note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal.

1. Partie A — Limites et asymptotes
   a. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$.
   b. Montrer que la droite d'équation $y=1$ est une asymptote à $C_f$ en $-\infty$. Étudier la position de $C_f$ par rapport à cette asymptote.
2. Partie B — Dérivation et variations
   a. Calculer $f^{\prime }(x)$ et montrer que $f^{\prime }(x)=x{e}^x$.
   b. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variations complet de $f$.
3. Partie C — Tangente et point particulier
   a. Déterminer l'équation de la tangente $(T)$ à $C_f$ au point d'abscisse $0$.
   b. Montrer que $(T)$ est tangente à $C_f$ en ce point et préciser si $C_f$ traverse ou non $(T)$ en ce point.
4. Partie D — Équation
   Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\mathbb{R}$, et donner un encadrement de $\alpha$ à l'unité près.

Soit la fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=(x-1)e^x+1$

1. Calculer la limite de f en $-\infty$ et en $+\infty$. (On rappelle que $\underset{x\to -\infty }{\lim }x\cdot e^x=0$.)
2. Montrer que $f^{\prime }(x)=x\cdot e^x$, puis dresser le tableau de variations complet de f.
3. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet exactement une solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$, et vérifier que $\alpha \in ]-1;0[$.
4. Calculer $f^{\prime \prime }(x)$. En déduire les intervalles de convexité et de concavité de $C_f$, et déterminer le(s) point(s) d'inflexion.
5. Écrire l'équation de la tangente à $C_f$ au point d'inflexion.
6. Application : En utilisant le théorème des accroissements finis appliqué à f sur $[0;1]$, montrer que : $\frac{e}{2}\le f(1)-f(0)\le e$, puis vérifier cette inégalité numériquement.

Exercice 4 — Étude complète d'une fonction rationnelle

On considère la fonction h définie par :

$h(x)=\frac{x^2-x+1}{x-1}$

dont on note $C_h$ la courbe représentative dans un repère orthonormal.

1. Déterminer le domaine de définition $D_h$ de h.
2. Effectuer la division euclidienne de $x^2-x+1$ par $x-1$, et en déduire une écriture de $h(x)$ sous la forme $h(x)=ax+b+\frac{c}{x-1}$ où $a,b,c\in \mathbb{R}$ à déterminer.
3. En déduire l'asymptote oblique de $C_h$ et l'asymptote verticale.
4. Calculer $h^{\prime }(x)$ et étudier le signe de $h^{\prime }(x)$. Dresser le tableau de variations de h.
5. Écrire l'équation de la tangente à $C_h$ au point d'abscisse $x=-1$.

Exercice 3 — Théorème des accroissements finis et inégalités

On considère la fonction h définie sur $[0;+\infty [$ par :

$h(x)=\ln (1+x)$

1. Montrer que h est continue sur $[0;1]$ et dérivable sur $]0;1[$.
2. Appliquer le théorème des accroissements finis (TAF) à h sur $[0;1]$ : montrer qu'il existe $c\in ]0;1[$ tel que $h(1)-h(0)=h^{\prime }(c)\cdot (1-0)$, puis en déduire que $\frac{1}{2}<\ln (2)<1$.
3. Plus généralement, en appliquant le TAF à h sur $[0;x]$ pour $x>0$, montrer que pour tout $x>0$ :

   $\frac{x}{1+x}\le \ln (1+x)\le x$

Exercice 4 — Étude complète d'une fonction rationnelle

On considère la fonction f définie par :

$f(x)=\frac{x^2-x+2}{x-1}$

et on note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. Déterminer le domaine de définition $D_f$ de f.
2. Effectuer la division euclidienne de $x^2-x+2$ par $x-1$ et en déduire une écriture de $f(x)$ sous la forme $f(x)=ax+b+\frac{k}{x-1}$ où $a,b,k$ sont des réels à déterminer. En déduire une asymptote oblique à $C_f$.
3. Calculer $f^{\prime }(x)$ (en utilisant la forme développée ou la règle du quotient). Étudier son signe et dresser le tableau de variations de f.
4. Déterminer les points où la tangente à $C_f$ est parallèle à la droite d'équation $y=3x-1$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $$f(x)=\ln \left(x^2+2x+5\right).$$

1. Justifier que $f$ est bien définie sur $\mathbb{R}$.

2. Calculer $f^{\prime }(x)$.

3. Montrer que pour tout réel $x$, $$f^{\prime \prime }(x)=\frac{-2x^2-4x+6}{{\left(x^2+2x+5\right)}^2}.$$

4. Étudier le signe de $f^{\prime \prime }(x)$, en déduire les intervalles de convexité et de concavité de $f$, puis préciser les abscisses des points d'inflexion de la courbe.

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0;+\infty [$ par $$f(x)=\ln \left(x^2+1\right).$$

1. Justifier que $f$ est bien définie sur $]0;+\infty [$, puis calculer $f^{\prime }(x)$.

2. Montrer que, pour tout $x>0$, $$f^{\prime \prime }(x)=\frac{2\left(1-x^2\right)}{{\left(x^2+1\right)}^2}.$$

3. Étudier le signe de $f^{\prime \prime }(x)$ sur $]0;+\infty [$ et en déduire les intervalles de convexité et de concavité de $f$.

4. La courbe de $f$ admet-elle un point d'inflexion ? Si oui, préciser ses coordonnées (valeur exacte).

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $$f(x)=x^3-3x^2+2x+1.$$

1. Calculer $f^{\prime }(x)$ et $f^{\prime \prime }(x)$.

2. Étudier le signe de $f^{\prime \prime }(x)$, en déduire les intervalles de convexité et de concavité de $f$, puis préciser les coordonnées du point d'inflexion $I$ de la courbe.

3. Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe au point d'inflexion $I$.

4. Étudier la position de la courbe représentative de $f$ par rapport à la tangente $T$ sur $\mathbb{R}$.