Calculer par intégration par parties

$D=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}x\cos xdx;F=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^2{e}^{x}dx$

Calculer par changement de variable

Calculer les intégrales suivantes en utilisant le changement de variable indiqué :

$A=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\cos x{\sin }^{3}xdx(t=\sin x);B=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{1-x^2}dx(x=\sin t)$

Linéarisation et décomposition

1. Linéariser ${\cos }^{3}x$ puis calculer $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}{\cos }^{3}xdx$.

2. Calculer $A=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^3+x+4}{x+1}dx$ et $B=\underset{2}{\overset{3}{\int }}\frac{5x+1}{x^2+x-2}dx$.

Méthode de combinaison

On pose :

$K=\underset{0}{\overset{\ln 2}{\int }}\frac{e^t-1}{e^t+1}dt;L=\underset{0}{\overset{\ln 2}{\int }}\frac{1}{e^t+1}dt$

Calculer $K+L$ et $K+2L$, puis en déduire les valeurs de $K$ et $L$.

Énoncé

Pour tout entier naturel $n$, on pose :

$S_n=\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{k+1}$

1. Montrer que pour tout réel $t\ne -1$ : $\sum _{k=0}^n(-1{)}^k{t}^k=\frac{1}{1+t}+\frac{(-1{)}^n{t}^{n+1}}{1+t}$.
2. En déduire que pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ : $S_n=\ln 2+(-1{)}^n\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{t^{n+1}}{1+t}dt$.
3. Montrer que $\underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_n=\ln 2$.

Intégrales du logarithme par parties

Calculer les intégrales suivantes :

1. $C=\underset{1}{\overset{e}{\int }}x\ln xdx$

2. $E=\underset{e}{\overset{e^2}{\int }}\ln xdx$

3. $G=\underset{-1}{\overset{e}{\int }}\ln (x+2)dx$

Changement de variable puis primitive du logarithme

Calculer l'intégrale :

$I_4=\underset{0}{\overset{\ln 2}{\int }}{e}^x\ln (e^x+1)dx.$

Linéariser avant d'intégrer

1. Linéariser ${\cos }^{3}x$.

2. En déduire la valeur de $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}{\cos }^{3}xdx$.

Pour tout $x\in {\mathbb{R}}^{+}$ on pose $h(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{t^2}{1+t}dt$.

1. Montrer que pour tout $x\ge 0$, $0\le h(x)\le \frac{x^3}{3}$.
2. Montrer que pour tout $x\ge 0$, $h(x)=-x+\frac{x^2}{2}+\ln (1+x)$.
3. En déduire que $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\ln (1+x)-x}{x^2}=-\frac{1}{2}$.

Calculez l'intégrale $\underset{0}{\overset{1}{\int }}x\cdot e^{x}dx$ en utilisant l'intégration par parties.

Une entreprise à Casablanca produit un bien dont le coût marginal est donné par $f(x)=6x+2$. Calculez le coût total de production de 3 à 5 unités.

Démontrez que l'intégrale d'une fonction continue est positive si la fonction est positive sur un intervalle donné.

Calculer la valeur moyenne de la fonction $f(x)=x^2$ sur l'intervalle $[1,3]$.

Calculez $\int x{e}^{x}dx$ en utilisant l'intégration par parties.

Exercice 4

Pour tout entier naturel $n$, on définit : $I_n=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^n{e}^{x}dx$.

1. Calculer $I_0$.
2. En effectuant une intégration par parties, établir la relation de récurrence : $I_n=e-n\cdot I_{n-1}$, pour tout entier $n\ge 1$.
3. Calculer $I_1$ puis $I_2$.
4. Montrer que, pour tout entier $n\ge 0$, on a : $0\le I_n\le \frac{e}{n+1}$.
5. En déduire la limite de $I_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$.

Exercice 4 — Étude de fonction et application intégrale

Soit f la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par : $f(x)=x-1-\ln (x)$.

1. Calculer $f^{\prime }(x)$ et étudier son signe sur $]0;+\infty [$.
2. En déduire les variations de f et montrer que $f(x)\ge 0$ pour tout $x\in ]0;+\infty [$.
3. Soit g la fonction définie sur $[1;e]$ par $g(x)=\ln (x)$. Interpréter géométriquement, puis calculer l'aire A du domaine délimité par la courbe $C_g$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=e$.
4. En utilisant une intégration par parties, calculer $\underset{1}{\overset{e}{\int }}\ln (x)dx$ et vérifier le résultat obtenu à la question 3.

Exercice 3 — Intégration par parties

On rappelle la formule d'intégration par parties (IPP) : si u et v sont deux fonctions dérivables sur $[a;b]$, alors :

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}u(x)\cdot v^{\prime }(x)dx=[u(x)\cdot v(x){]}_a^b-\underset{a}{\overset{b}{\int }}{u}^{\prime }(x)\cdot v(x)dx$

1. Calculer $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}x\cdot e^{x}dx$ en utilisant une intégration par parties. On précisera le choix de $u$ et $v^{\prime }$.
2. Calculer $J=\underset{1}{\overset{e}{\int }}x\cdot \ln (x)dx$ en utilisant une intégration par parties. On précisera le choix de $u$ et $v^{\prime }$.
3. En déduire la valeur de $K=\underset{1}{\overset{e}{\int }}(x\cdot \ln (x)+x\cdot e^x)dx$.

Partie A. Calculer, à l'aide d'une intégration par parties, l'intégrale $$J=\underset{1}{\overset{e}{\int }}x\ln xdx.$$

Partie B. On considère la fonction g définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x{e}^{-x}$.

1. À l'aide d'une intégration par parties, calculer $\underset{0}{\overset{1}{\int }}x{e}^{-x}dx$.

2. La fonction g est positive sur $[0;1]$. En déduire, en unités d'aire, l'aire $\mathcal{A}$ du domaine compris entre la courbe de g, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$.

Partie A. À l'aide d'une intégration par parties, calculer l'intégrale $$J=\underset{1}{\overset{e}{\int }}\ln xdx.$$

Partie B. On considère la fonction f définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f(x)=\ln x$.

1. À l'aide d'une intégration par parties, calculer $\underset{1}{\overset{2}{\int }}(2x+1)\ln xdx$.

2. Sur l'intervalle $[1;e]$, la fonction f est positive. En déduire, en unités d'aire, l'aire $\mathcal{A}$ du domaine compris entre la courbe de f, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=e$.

On considère les fonctions f et g définies sur $\mathbb{R}$ par $$f(x)=4-x^2\text{et}g(x)=x^2-2.$$

1. Résoudre l'équation $f(x)=g(x)$, puis déterminer le signe de $f(x)-g(x)$ sur $\mathbb{R}$.

2. En déduire, en unités d'aire, l'aire $\mathcal{A}$ du domaine compris entre les deux courbes.

3. On pose $J=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{1+x^2}dx$. Sans calculer $J$, montrer que $$\frac{1}{2}\le J\le 1.$$