Probabilités conditionnelles et variables aléatoires — Résumé de cours

1ère Année Collège — Lumaths.ma

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Probabilités conditionnelles

$P_{B} (A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$ . Formule des probabilités totales avec un système complet d'événements.

$A$ et $B$ sont indépendants si $P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$ .

Loi binomiale

Pour $n$ répétitions indépendantes d'une épreuve de succès $p$ : $X \sim B (n, p)$ et $P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ .

Espérance $E (X) = n p$ , variance $V (X) = n p (1 - p)$ .

🔑 Formules clés à retenir

Ne pas confondre $P_{B} (A)$ et $P_{A} (B)$ .
$E (X) = n p$ pour la loi binomiale.

Probabilités conditionnelles et variables aléatoires — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

6 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

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Exercices Faciles

2 exercices

Arbre pondéré et probabilités totales

Facile

Énoncé

Dans un lycée, $60%$ des élèves sont inscrits à l'association sportive. Parmi les élèves inscrits, $30%$ pratiquent le basket. Parmi les élèves non inscrits, seulement $5%$ pratiquent le basket.

On choisit un élève au hasard. On note :

$∙$ $S$ l'événement « l'élève est inscrit à l'association sportive » ;

$∙$ $B$ l'événement « l'élève pratique le basket ».

1. Traduire les données de l'énoncé à l'aide des probabilités $P (S)$ , $P_{S} (B)$ et $P_{\overline{S}} (B)$ , puis construire l'arbre pondéré correspondant.

2. Calculer $P (S \cap B)$ et interpréter ce résultat.

3. Montrer que la probabilité que l'élève choisi pratique le basket est $P (B) = 0, 20$ .

4. L'élève choisi pratique le basket. Quelle est la probabilité qu'il soit inscrit à l'association sportive ? Arrondir au centième.

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Correction détaillée

Arbre pondéré, probabilités totales et formule de Bayes

Facile

Énoncé

Une usine fabrique des composants électroniques sur deux chaînes de production. La chaîne $A$ produit $70%$ des composants, la chaîne $B$ produit le reste. On constate que $4%$ des composants issus de la chaîne $A$ sont défectueux, contre $9%$ de ceux issus de la chaîne $B$ .

On prélève un composant au hasard dans la production totale. On note :

$∙$ $A$ l'événement « le composant provient de la chaîne $A$ » ;

$∙$ $B$ l'événement « le composant provient de la chaîne $B$ » ;

$∙$ $D$ l'événement « le composant est défectueux ».

1. Donner les valeurs de $P (A)$ , $P (B)$ , $P_{A} (D)$ et $P_{B} (D)$ , puis construire l'arbre pondéré décrivant la situation.

2. Calculer $P (A \cap D)$ et $P (B \cap D)$ .

3. En déduire la probabilité $P (D)$ qu'un composant prélevé au hasard soit défectueux.

4. Un composant prélevé se révèle défectueux. Quelle est la probabilité qu'il provienne de la chaîne $B$ ? Arrondir au millième.

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Correction détaillée

Exercices Intermédiaires

2 exercices

Dépistage, probabilités totales et indépendance

Intermédiaire

Énoncé

Une maladie touche $4%$ d'une population. On dispose d'un test de dépistage. Lorsqu'une personne est malade, le test est positif dans $95%$ des cas. Lorsqu'une personne n'est pas malade, le test est positif dans $2%$ des cas (faux positifs).

On choisit une personne au hasard. On note $M$ l'événement « la personne est malade » et $T$ l'événement « le test est positif ».

1. Donner les valeurs de $P (M)$ , $P_{M} (T)$ et $P_{\overline{M}} (T)$ .

2. Calculer la probabilité $P (T)$ que le test soit positif.

3. Une personne a un test positif. Calculer la probabilité qu'elle soit réellement malade. Arrondir au millième et commenter.

4. Les événements $M$ et $T$ sont-ils indépendants ? Justifier par le calcul.

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Indépendance, loi binomiale et espérance

Intermédiaire

Énoncé

Un site de vente en ligne expédie des colis. La probabilité qu'un colis arrive en retard est de $0, 15$ , indépendamment des autres colis. Un client passe une commande composée de $8$ colis distincts expédiés séparément.

On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de colis arrivant en retard parmi les $8$ colis.

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2. Calculer la probabilité qu'aucun colis ne soit en retard. Arrondir au millième.

3. Calculer la probabilité qu'exactement deux colis soient en retard. Arrondir au millième.

4. Calculer la probabilité qu'au moins un colis soit en retard. Arrondir au millième.

5. Déterminer l'espérance $E (X)$ et l'écart-type $σ (X)$ de $X$ . Interpréter $E (X)$ .

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Exercices Difficiles

2 exercices

Loi binomiale et probabilités conditionnelles combinées

Difficile

Énoncé

Une usine produit des composants électroniques. Chaque composant est défectueux avec la probabilité $p = 0, 05$ , indépendamment des autres. On prélève un lot de $n = 20$ composants. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de composants défectueux dans le lot.

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2. Calculer $E (X)$ et $V (X)$ . Interpréter $E (X)$ .

3. Calculer la probabilité qu'aucun composant ne soit défectueux. Arrondir au millième.

4. Calculer la probabilité qu'il y ait au moins deux composants défectueux. Arrondir au millième.

5. Le lot est déclaré « accepté » s'il contient au plus un composant défectueux. Sachant qu'un lot a été accepté, calculer la probabilité qu'il ne contienne aucun composant défectueux. Arrondir au millième.

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Correction détaillée

Probabilités conditionnelles et loi binomiale dans un test de dépistage

Difficile

Énoncé

Une maladie touche $2%$ d'une population. Un test de dépistage est mis au point. Lorsqu'une personne est malade, le test est positif dans $96%$ des cas (sensibilité). Lorsqu'une personne n'est pas malade, le test est négatif dans $95%$ des cas (spécificité).

On choisit une personne au hasard et on lui fait passer le test. On note :

$∙$ $M$ l'événement « la personne est malade » ;

$∙$ $T$ l'événement « le test est positif ».

Partie A.

1. Traduire les données par des probabilités, puis construire l'arbre pondéré.

2. Montrer que $P (T) = 0, 0682$ .

3. Calculer la valeur prédictive positive $P_{T} (M)$ , c'est-à-dire la probabilité qu'une personne au test positif soit réellement malade. Arrondir au millième. Commenter.

Partie B.

On sélectionne désormais, de façon indépendante, $50$ personnes au hasard dans cette population et on les teste. On note $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de tests positifs parmi ces $50$ tests.

4. Justifier que $Y$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

5. Calculer $E (Y)$ et interpréter ce résultat.

6. Calculer la probabilité qu'au plus un test soit positif parmi les $50$ . Arrondir au millième.

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