Un jeu de hasard proposé lors d'une fête à Marrakech fonctionne de la manière suivante : un joueur lance 4 dés équilibrés simultanément. On appelle X le nombre de dés affichant le chiffre 6.

1. Montrer que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2. Calculer $P(X=0)$, $P(X=1)$, $P(X\ge 2)$. (Donner des valeurs exactes puis des valeurs approchées à $10^{-3}$.)
3. Les règles du jeu sont les suivantes :
   • Si $X=0$ : le joueur perd 10 dirhams.
   • Si $X=1$ : le joueur gagne 5 dirhams.
   • Si $X\ge 2$ : le joueur gagne 30 dirhams.
   Soit G la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur. Dresser la loi de probabilité de G.
4. Calculer $E(G)$. Ce jeu est-il favorable au joueur ? Justifier.

Exercice 2 — Contrôle qualité à Casablanca

Une usine de fabrication de pièces mécaniques à Casablanca produit des pièces dont 5 % sont défectueuses. Un contrôleur prélève au hasard un échantillon de 20 pièces. On note X le nombre de pièces défectueuses dans cet échantillon.

1. Justifier que X suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.

2. Calculer, en arrondissant à $10^{-4}$ près :

1. La probabilité qu'il n'y ait aucune pièce défectueuse.
2. La probabilité qu'il y ait exactement 2 pièces défectueuses.
3. La probabilité qu'il y ait au moins une pièce défectueuse.

3. Calculer l'espérance E(X) et la variance V(X). Interpréter E(X) dans le contexte.

4. On note Y = 3X − 1. Calculer E(Y) et V(Y).

On donne : $0,95^{20}$ ≈ 0,3585 et $0,95^{18}$ ≈ 0,3972.

Exercice 3 — Sélection d'étudiants à Rabat

Dans une école d'ingénieurs à Rabat, une promotion comprend 60 étudiants répartis comme suit :

• 35 étudiants ont suivi un cursus scientifique (S).
• 25 étudiants ont suivi un cursus technologique (T).

Parmi les étudiants scientifiques, 28 ont validé leur stage. Parmi les étudiants technologiques, 15 ont validé leur stage.

On choisit un étudiant au hasard dans la promotion. On note :

• S : « l'étudiant a suivi un cursus scientifique »
• V : « l'étudiant a validé son stage »

Partie A — Probabilités conditionnelles

1. Calculer $P(S)$, $P(V\cap S)$ et $P(V\cap T)$.

2. En déduire $P(V)$ à l'aide de la formule des probabilités totales.

3. Calculer $P(S|V)$ et interpréter ce résultat.

Partie B — Variable aléatoire

On choisit maintenant, successivement et sans remise, 3 étudiants parmi les 60. On note Y le nombre d'étudiants ayant validé leur stage parmi les 3 choisis.

4. Justifier que Y ne suit pas exactement une loi binomiale. Donner néanmoins la loi binomiale $B(n,p)$ qui peut servir d'approximation, en précisant les conditions justifiant cette approximation.

5. En utilisant cette approximation, calculer $P(Y=2)$. Arrondir à $10^{-4}$ près.

Lors d'un sondage réalisé dans une ville française avant des élections municipales, 450 personnes sont interrogées au hasard. Parmi elles, 198 déclarent avoir l'intention de voter pour le candidat A.

1. Calculer la fréquence f observée de personnes favorables au candidat A dans cet échantillon.
2. On admet que la taille de l'échantillon est suffisamment grande pour appliquer l'approximation normale. Construire un intervalle de confiance au niveau 95 % pour la proportion p de personnes favorables au candidat A dans la population totale. On rappelle que cet intervalle est : $I=[f-1,96\times \sqrt{\frac{f(1-f)}{n}};f+1,96\times \sqrt{\frac{f(1-f)}{n}}]$.
3. Un journaliste affirme que « plus de la moitié des électeurs de cette ville soutiennent le candidat A ». L'intervalle de confiance obtenu permet-il de valider cette affirmation ? Justifier.
4. On souhaite maintenant construire un intervalle de confiance au niveau 99 %. Sans effectuer le calcul complet, indiquer si cet intervalle sera plus large ou plus étroit que celui au niveau 95 %, et expliquer pourquoi.

On donne : $1,96^2\approx 3,84$ ; $2,58^2\approx 6,66$ ; $\sqrt{\frac{0,2464}{450}}\approx 0,0234$.

Un réseau électrique de la ville de Rabat est alimenté par 8 générateurs indépendants. Chaque générateur tombe en panne, de façon indépendante des autres, avec une probabilité p = 0,1 par jour.

On note X le nombre de générateurs en panne un jour donné.

1. Quelle est la loi suivie par X ? Préciser ses paramètres, son espérance et sa variance.
2. Calculer la probabilité que au moins deux générateurs soient en panne le même jour. On donnera une valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-4}$ près.
3. Le réseau fonctionne correctement tant qu'au plus 2 générateurs sont en panne simultanément. Calculer la probabilité que le réseau fonctionne correctement un jour donné.
4. On observe le réseau pendant 30 jours consécutifs. On note Y le nombre de jours où le réseau ne fonctionne pas correctement. Quelle est la loi de Y ? Calculer E(Y) et interpréter.

Dans une ville , un laboratoire propose un test de dépistage pour une maladie M. On dispose des informations suivantes :

• La proportion de personnes atteintes par la maladie M dans la population testée est de 2 %.
• Si une personne est atteinte de M, le test est positif avec une probabilité de 0,95.
• Si une personne est saine, le test est positif avec une probabilité de 0,04 (faux positif).

On note :
— M l'événement « la personne est atteinte de la maladie »,
— T l'événement « le test est positif ».

1. Construire un arbre pondéré représentant la situation.

2. Calculer la probabilité qu'une personne tirée au hasard dans cette population ait un test positif. On donnera le résultat sous forme décimale arrondie à 1$0^{-4}$ près.

3. Sachant que le test d'une personne est positif, calculer la probabilité qu'elle soit réellement atteinte de la maladie M. Arrondir à 1$0^{-4}$ près.

4. Le laboratoire affirme que son test est « fiable à plus de 90 % ». Commenter cette affirmation à la lumière du résultat de la question 3.

Dans une région , une étude épidémiologique révèle que 8 % de la population est atteinte d'une certaine maladie. Un test de dépistage est utilisé avec les caractéristiques suivantes :

• Si la personne est malade, le test est positif avec une probabilité de 0,95.
• Si la personne n'est pas malade, le test est positif avec une probabilité de 0,03.

On choisit une personne au hasard dans cette population. On note M l'événement « la personne est malade » et T l'événement « le test est positif ».

1. Calculer la probabilité que le test soit positif, $P(T)$.
2. Sachant que le test est positif, calculer la probabilité que la personne soit réellement malade. Commenter le résultat.
3. On prélève maintenant un échantillon de 15 personnes indépendantes dans cette population. On note X le nombre de personnes dont le test est positif. Justifier que X suit une loi binomiale, préciser ses paramètres, puis calculer $P(X\le 1)$ arrondi à $10^{-4}$.
4. Déterminer le plus petit entier n tel que la probabilité qu'au moins une personne parmi n ait un test positif soit supérieure à 0,99.

On dispose de deux urnes $U_1$ et $U_2$.

• $U_1$ contient $4$ boules rouges et $2$ boules bleues.
• $U_2$ contient $3$ boules rouges et $5$ boules bleues.

On lance un dé équilibré à $6$ faces. Si le résultat est 1 ou 2, on tire une boule dans $U_1$ ; sinon, on tire une boule dans $U_2$.

On définit les événements :

• $A$ : «on tire dans $U_1$»
• $R$ : «la boule tirée est rouge»

1. Calculer $P(A)$ et $P(\overline{A})$.
2. Calculer $P(R|A)$ et $P(R|\overline{A})$.
3. En déduire $P(R)$ à l'aide de la formule des probabilités totales.
4. Sachant que la boule tirée est rouge, calculer la probabilité qu'elle provienne de $U_1$. (Formule de Bayes)
5. Les événements $A$ et $R$ sont-ils indépendants ? Justifier.

Une enquête menée auprès d'un échantillon de n = 400 habitants de Rabat révèle que 148 d'entre eux utilisent quotidiennement les transports en commun.

1. Calculer la fréquence f observée dans cet échantillon.
2. On modélise le nombre X d'utilisateurs quotidiens des transports en commun dans un échantillon de 400 personnes par une loi binomiale $B(400;p)$, où p est la proportion réelle dans la population. Donner $E(X)$ et $V(X)$ en fonction de p.
3. Justifier que, pour n = 400 suffisamment grand, on peut approcher la loi de X par une loi normale. Préciser les paramètres de cette loi normale.
4. En utilisant l'approximation normale et le fait que $P(|Z|\le 1,96)\approx 0,95$ pour $Z\sim N(0,1)$, construire un intervalle de confiance au niveau de confiance 95 % pour la proportion p.
   On admettra que l'intervalle de confiance est : $I=\left[f-1,96\times \sqrt{\frac{f(1-f)}{n}};f+1,96\times \sqrt{\frac{f(1-f)}{n}}\right]$.
5. Peut-on affirmer, au seuil de 95 %, que la proportion d'utilisateurs quotidiens est différente de 40 % dans la population de Rabat ?

Une usine a $3$ machines $A$, $B$, $C$ qui produisent respectivement $50\%$, $30\%$ et $20\%$ de la production. Les taux de pièces défectueuses sont : $2\%$ pour $A$, $3\%$ pour $B$, $5\%$ pour $C$.

1. Quelle est la probabilité qu'une pièce soit défectueuse ?
2. Une pièce est défectueuse. Quelle est la probabilité qu'elle vienne de la machine $C$ ?
3. Quelle machine produit le plus de pièces défectueuses ?

Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale $N(\mu ,{\sigma }^2)$ avec $\mu =60$ et $\sigma =10$.

1. Rappeler la variable réduite Z et sa loi.
2. Calculer $P(X\le 70)$. ($\Phi (1)\approx 0.8413$)
3. Calculer $P(50\le X\le 80)$. ($\Phi (2)\approx 0.9772$)
4. Calculer $P(X\ge 65)$. ($\Phi (0.5)\approx 0.6915$)
5. Trouver la valeur t telle que $P(X\le t)=0.975$. ($\Phi (1.96)\approx 0.975$)

Un magasin vend 60% de pommes et 40% de poires. 70% des pommes sont bio et 30% des poires sont bio. Quelle est la probabilité qu'un fruit choisi au hasard soit bio ?

Dans une boîte, il y a 3 boules rouges et 5 boules bleues. On tire deux boules successivement sans remise. Quelle est la probabilité que les deux boules soient rouges ?

Énoncé

On lance simultanément deux dés équilibrés à six faces. On note $X$ la variable aléatoire égale à la plus grande des deux valeurs obtenues.

1. Déterminer la loi de probabilité de $X$.
2. Calculer l'espérance $E(X)$, la variance $V(X)$ et l'écart type $\sigma (X)$.

Énoncé

Une école compte $300$ élèves, chacun inscrit à un et un seul club : $60$ au club Cybersécurité (dont $30\%$ de filles), $90$ au club Sport (dont $60\%$ de filles) et $150$ au club Environnement (dont $72\%$ de filles). On choisit un élève au hasard et on considère les événements $F$ « l'élève est une fille », $G$ « l'élève est un garçon », $C_{sc}$, $C_{sp}$, $C_{env}$ d'appartenance respective aux trois clubs.

1. Vérifier que $P(C_{sc})=\frac{1}{5}$, puis calculer $P(C_{sp})$ et $P(C_{env})$.
2. Montrer que $P(F)=\frac{3}{5}$.
3. En déduire $P(G)$.
4. Sachant que l'élève choisi est un garçon, montrer que la probabilité qu'il appartienne au club Environnement est $\frac{7}{20}$.

Énoncé

Un sac contient $2n$ boules indiscernables ($n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$) : $n$ blanches et $n$ noires. Une partie consiste à tirer une boule, noter sa couleur, la remettre, puis tirer une seconde boule et noter sa couleur. Règle :

1. deux boules blanches : on gagne 20 points ;
2. deux boules noires : on perd 20 points ;
3. boules de couleurs différentes : gain nul.

1) Calculer la probabilité de gagner 20 points, de perdre 20 points et d'un gain nul.
2) On répète le jeu 5 fois. a) Probabilité de gagner 100 points. b) Probabilité de gagner 40 points (au total).

Énoncé

On lance 10 fois de suite une pièce parfaitement équilibrée. Soit $X$ la fréquence d'apparition de « pile », c'est-à-dire le nombre de « pile » divisé par 10.

1. a) Déterminer les valeurs prises par $X$.
   b) Calculer $P\left(X=\frac{1}{2}\right)$.
2. Calculer $P\left(X\ge \frac{9}{10}\right)$.

Énoncé

On lance simultanément deux dés cubiques équilibrés à six faces et on note les deux valeurs obtenues. Soit $X$ la variable aléatoire égale à la plus grande des deux valeurs.

1. Déterminer la loi de probabilité de $X$.

2. Calculer l'espérance $E(X)$, la variance $V(X)$ puis l'écart-type $\sigma (X)$.

Énoncé

On dispose de deux boîtes. La boîte $U$ contient $4$ boules rouges et $4$ boules bleues ; la boîte $V$ contient $2$ boules rouges et $4$ boules bleues. On tire au hasard une boule de $U$ : si elle est rouge, on la place dans $V$ puis on tire une boule de $V$ ; si elle est bleue, on l'écarte puis on tire une boule de $V$. On note $R_U,B_U$ (boule de $U$ rouge, resp. bleue) et $R_V,B_V$ (boule de $V$ rouge, resp. bleue).

1. Calculer $P(R_U)$ et $P(B_U)$.

2. Calculer $P_{R_U}(B_V)$ et $P_{B_U}(B_V)$.

3. Montrer que $P(B_V)=\frac{13}{21}$.

4. En déduire $P(R_V)$.

Un magasin reçoit en moyenne 4 clients par heure. Quelle est la probabilité qu'il reçoive exactement 2 clients dans une heure ?

Une entreprise de Casablanca a 50 employés avec un salaire moyen de 8000 dirhams et un écart-type de 1500 dirhams. Trouvez l'espérance et la variance des salaires.

Une maladie touche $4\%$ d'une population. On dispose d'un test de dépistage. Lorsqu'une personne est malade, le test est positif dans $95\%$ des cas. Lorsqu'une personne n'est pas malade, le test est positif dans $2\%$ des cas (faux positifs).

On choisit une personne au hasard. On note $M$ l'événement « la personne est malade » et $T$ l'événement « le test est positif ».

1. Donner les valeurs de $P(M)$, $P_M(T)$ et $P_{\overline{M}}(T)$.

2. Calculer la probabilité $P(T)$ que le test soit positif.

3. Une personne a un test positif. Calculer la probabilité qu'elle soit réellement malade. Arrondir au millième et commenter.

4. Les événements $M$ et $T$ sont-ils indépendants ? Justifier par le calcul.

Un site de vente en ligne expédie des colis. La probabilité qu'un colis arrive en retard est de $0,15$, indépendamment des autres colis. Un client passe une commande composée de $8$ colis distincts expédiés séparément.

On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de colis arrivant en retard parmi les $8$ colis.

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2. Calculer la probabilité qu'aucun colis ne soit en retard. Arrondir au millième.

3. Calculer la probabilité qu'exactement deux colis soient en retard. Arrondir au millième.

4. Calculer la probabilité qu'au moins un colis soit en retard. Arrondir au millième.

5. Déterminer l'espérance $E(X)$ et l'écart-type $\sigma (X)$ de $X$. Interpréter $E(X)$.

Une chaîne de production fabrique des résistances électroniques. On admet que chaque résistance est défectueuse avec une probabilité $p=0,05$, indépendamment des autres. Pour contrôler la production, on prélève au hasard un échantillon de $20$ résistances. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de résistances défectueuses dans l'échantillon.

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2. Calculer la probabilité qu'aucune résistance ne soit défectueuse. Arrondir au millième.

3. Calculer $P(X⩾1)$, probabilité qu'au moins une résistance soit défectueuse. Arrondir au millième.

4. Le service qualité applique la règle de décision suivante : le lot est accepté si l'échantillon contient au plus $2$ résistances défectueuses, et rejeté sinon. Calculer la probabilité que le lot soit rejeté. Arrondir au millième.

5. Déterminer l'espérance $E(X)$ et interpréter ce résultat.