Primitives et équations différentielles — Résumé de cours

1ère Année Collège — Lumaths.ma

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Contenu du cours

1. Définition d'une primitive

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ . On appelle primitive de $f$ sur $I$ toute fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que $F^{'} (x) = f (x)$ pour tout $x \in I$ .

Exemple : $F (x) = x^{2}$ est une primitive de $f (x) = 2 x$ sur $R$ , car $F^{'} (x) = 2 x$ . La fonction $G (x) = x^{2} + 5$ en est aussi une.

Théorème : toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$ .

2. Primitives et constante

Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ , alors les primitives de $f$ sur $I$ sont toutes les fonctions de la forme $x \mapsto F (x) + k$ , où $k$ est une constante réelle.

Deux primitives d'une même fonction diffèrent donc d'une constante. Il existe une infinité de primitives, mais elles partagent toutes la même dérivée $f$ .

3. Primitives usuelles

On lit le tableau des dérivées « à l'envers ». Pour $n \neq = - 1$ , une primitive de $x^{n}$ est $\frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$ . Une primitive de $\frac{1}{x}$ sur $] 0; + \infty [$ est $ln (x)$ , une primitive de $e^{x}$ est $e^{x}$ .

Exemple : une primitive de $f (x) = x^{3}$ est $F (x) = \frac{x ^{4}}{4}$ , car $F^{'} (x) = \frac{4 x ^{3}}{4} = x^{3}$ .

4. Primitives de la forme $u^{'} u^{n}$

Si $u$ est dérivable sur $I$ et $n \neq = - 1$ , alors une primitive de $u^{'} u^{n}$ est $\frac{u ^{n + 1}}{n + 1}$ .

Exemple : pour $f (x) = 2 x (x^{2} + 1)^{3}$ , on pose $u = x^{2} + 1$ donc $u^{'} = 2 x$ : on reconnaît $u^{'} u^{3}$ , une primitive est $\frac{( x ^{2} + 1 ) ^{4}}{4}$ .

5. Primitives de la forme $\frac{u ^{'}}{u}$

Si $u$ est dérivable et strictement positive sur $I$ , alors une primitive de $\frac{u ^{'}}{u}$ est $ln (u)$ .

Exemple : pour $f (x) = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$ , on a $u = x^{2} + 1 > 0$ et $u^{'} = 2 x$ : une primitive est $ln (x^{2} + 1)$ .

6. Primitives de la forme $u^{'} e^{u}$

Si $u$ est dérivable sur $I$ , alors une primitive de $u^{'} e^{u}$ est $e^{u}$ .

Exemple : pour $f (x) = 2 x e^{x^{2}}$ , on a $u = x^{2}$ et $u^{'} = 2 x$ : une primitive est $e^{x^{2}}$ .

7. Équations différentielles $y^{'} = a y$

Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction et qui relie cette fonction à sa (ou ses) dérivée(s).

Théorème : les solutions sur $R$ de l'équation $y^{'} = a y$ (avec $a$ réel) sont les fonctions $x \mapsto C e^{a x}$ , où $C$ est une constante réelle.

Exemple : les solutions de $y^{'} = 3 y$ sont $x \mapsto C e^{3 x}$ . On vérifie que $y^{'} = 3 C e^{3 x} = 3 y$ .

8. Équations différentielles $y^{'} = a y + b$

Soit $a \neq = 0$ et $b$ deux réels. Les solutions sur $R$ de $y^{'} = a y + b$ sont les fonctions $x \mapsto C e^{a x} - \frac{b}{a}$ , où $C \in R$ .

La constante $- \frac{b}{a}$ est la solution particulière constante : elle vérifie $y^{'} = 0$ donc $0 = a y + b$ , soit $y = - \frac{b}{a}$ .

9. Problème de Cauchy et condition initiale

Un problème de Cauchy est la donnée d'une équation différentielle accompagnée d'une condition initiale du type $y (x_{0}) = y_{0}$ . Cette condition fixe la valeur de la constante $C$ : la solution devient alors unique.

Exemple : résoudre $y^{'} = 2 y$ avec $y (0) = 5$ . Les solutions sont $y = C e^{2 x}$ ; la condition $y (0) = C = 5$ donne la solution unique $y = 5 e^{2 x}$ .

10. Modélisation

Les équations $y^{'} = a y$ et $y^{'} = a y + b$ modélisent de nombreux phénomènes d'évolution : croissance ou décroissance d'une population, désintégration radioactive ( $a < 0$ ), refroidissement d'un corps (loi de Newton), charge d'un condensateur.

L'interprétation $y^{'} = a y$ signifie que la vitesse de variation est proportionnelle à la quantité présente. Le signe de $a$ donne le sens d'évolution : $a > 0$ croissance exponentielle, $a < 0$ décroissance vers une limite.

✍️ Exemples résolus & démonstrations

Exemple 1 — Reconnaître une forme pour trouver une primitive

Énoncé. Déterminer une primitive sur $R$ de chacune des fonctions : $f (x) = x (x^{2} + 1)^{3}$ , $g (x) = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$ , $h (x) = x e^{x^{2}}$ .

Solution.

Forme $u^{'} u^{n}$ . Pour $f$ , on pose $u (x) = x^{2} + 1$ , donc $u^{'} (x) = 2 x$ . On écrit $f (x) = \frac{1}{2} \cdot 2 x (x^{2} + 1)^{3} = \frac{1}{2} u^{'} (x) (u (x))^{3}$ . Or une primitive de $u^{'} u^{3}$ est $\frac{u ^{4}}{4}$ , donc $F (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{( x ^{2} + 1 ) ^{4}}{4} = \frac{( x ^{2} + 1 ) ^{4}}{8} .$ Vérification : $F^{'} (x) = \frac{4 ( x ^{2} + 1 ) ^{3} \cdot 2 x}{8} = x (x^{2} + 1)^{3} = f (x)$ . ✓
Forme $\frac{u ^{'}}{u}$ . Pour $g$ , on pose $u (x) = x^{2} + 1 > 0$ , donc $u^{'} (x) = 2 x$ et $g (x) = \frac{u ^{'} ( x )}{u ( x )}$ . Une primitive de $\frac{u ^{'}}{u}$ est $ln ∣ u ∣$ , et comme $x^{2} + 1 > 0$ : $G (x) = ln (x^{2} + 1) .$ Vérification : $G^{'} (x) = \frac{2 x}{x ^{2} + 1} = g (x)$ . ✓
Forme $u^{'} e^{u}$ . Pour $h$ , on pose $u (x) = x^{2}$ , donc $u^{'} (x) = 2 x$ . On écrit $h (x) = \frac{1}{2} \cdot 2 x e^{x^{2}} = \frac{1}{2} u^{'} (x) e^{u (x)}$ . Une primitive de $u^{'} e^{u}$ est $e^{u}$ , donc $H (x) = \frac{1}{2} e^{x^{2}} .$ Vérification : $H^{'} (x) = \frac{1}{2} \cdot 2 x e^{x^{2}} = x e^{x^{2}} = h (x)$ . ✓

Exemple 2 — Résoudre $y^{'} = a y + b$ avec condition initiale

Énoncé. Résoudre sur $R$ l'équation différentielle $y^{'} = 2 y + 6$ , puis déterminer l'unique solution $f$ vérifiant la condition initiale $f (0) = 1$ .

Solution.

L'équation est de la forme $y^{'} = a y + b$ avec $a = 2$ et $b = 6$ . Les solutions sur $R$ sont les fonctions $y (x) = C e^{a x} - \frac{b}{a}, C \in R .$
On identifie la solution particulière constante : $- \frac{b}{a} = - \frac{6}{2} = - 3$ . (On la retrouve en cherchant $y$ constante : $0 = 2 y + 6 ⟺ y = - 3$ .)
La solution générale est donc $y (x) = C e^{2 x} - 3, C \in R .$
Condition initiale. On impose $f (0) = 1$ : $f (0) = C e^{0} - 3 = C - 3 = 1 ⟹ C = 4.$
L'unique solution cherchée est $f (x) = 4 e^{2 x} - 3.$ Vérification : $f^{'} (x) = 8 e^{2 x}$ et $2 f (x) + 6 = 2 (4 e^{2 x} - 3) + 6 = 8 e^{2 x}$ , donc $f^{'} (x) = 2 f (x) + 6$ ; de plus $f (0) = 4 - 3 = 1$ . ✓

Exemple 3 — Modélisation : refroidissement

Énoncé. Un objet sort d'un four à $80 ° C$ dans une pièce maintenue à $20 ° C$ . Sa température $T$ (en °C) à l'instant $t$ (en heures) vérifie $T^{'} (t) = - 0, 5 (T (t) - 20)$ avec $T (0) = 80$ . Exprimer $T (t)$ , puis déterminer la limite de $T$ et le temps au bout duquel l'objet atteint $30 ° C$ .

Solution.

On développe : $T^{'} = - 0, 5 T + 10$ . C'est une équation $y^{'} = a y + b$ avec $a = - 0, 5$ et $b = 10$ . Solution générale : $T (t) = C e^{- 0, 5 t} - \frac{b}{a} = C e^{- 0, 5 t} + 20, C \in R,$ car $- \frac{b}{a} = - \frac{10}{- 0 , 5} = 20$ .
Condition initiale. $T (0) = C + 20 = 80 \Rightarrow C = 60$ , donc $T (t) = 60 e^{- 0, 5 t} + 20.$
Limite. Comme $- 0, 5 < 0$ , $e^{- 0, 5 t} \to 0$ quand $t \to + \infty$ , donc $t \to + \infty lim T (t) = 20.$ L'objet tend vers la température de la pièce : c'est cohérent.
Atteindre $30 ° C$ . On résout $T (t) = 30$ : $60 e^{- 0, 5 t} + 20 = 30 ⟺ e^{- 0, 5 t} = \frac{10}{60} = \frac{1}{6} .$
On applique le logarithme : $- 0, 5 t = ln (\frac{1}{6}) = - ln 6$ , d'où $t = \frac{ln 6}{0 , 5} = 2 ln 6 \approx 3, 58 h .$ L'objet atteint $30 ° C$ au bout d'environ $3$ h $35$ min.

🔑 Formules clés à retenir

Primitive : $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F^{'} = f$ .
Constante : les primitives de $f$ sont les $F (x) + k$ , $k \in R$ .
$f (x) = a$ (constante) $\Rightarrow F (x) = a x$ .
$f (x) = x^{n}$ , $n \neq = - 1 \Rightarrow F (x) = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$ .
$f (x) = \frac{1}{x}$ sur $] 0; + \infty [\Rightarrow F (x) = ln (x)$ .
$f (x) = \frac{1}{x ^{2}} \Rightarrow F (x) = - \frac{1}{x}$ .
$f (x) = \frac{1}{x} \Rightarrow F (x) = 2 x$ .
$f (x) = e^{x} \Rightarrow F (x) = e^{x}$ ; $f (x) = e^{a x} \Rightarrow F (x) = \frac{1}{a} e^{a x}$ .
$f (x) = cos (x) \Rightarrow F (x) = sin (x)$ ; $f (x) = sin (x) \Rightarrow F (x) = - cos (x)$ .
Forme $u^{'} u^{n}$ ( $n \neq = - 1$ ) $\Rightarrow \frac{u ^{n + 1}}{n + 1}$ .
Forme $\frac{u ^{'}}{u}$ ( $u > 0$ ) $\Rightarrow ln (u)$ .
Forme $u^{'} e^{u}$ $\Rightarrow e^{u}$ .
Forme $\frac{u ^{'}}{u}$ ( $u > 0$ ) $\Rightarrow 2 u$ .
$y^{'} = a y$ : solutions $y (x) = C e^{a x}$ , $C \in R$ .
$y^{'} = a y + b$ ( $a \neq = 0$ ) : solutions $y (x) = C e^{a x} - \frac{b}{a}$ , $C \in R$ .
Condition initiale $y (x_{0}) = y_{0}$ : détermine $C$ de façon unique.

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

Ne jamais oublier la constante $+ k$ quand on cherche « les » primitives (ensemble), même si une primitive particulière suffit pour un calcul d'intégrale.
La forme $\frac{u ^{'}}{u}$ exige $u > 0$ pour donner $ln (u)$ . Si $u$ peut être négative, la primitive est $ln (∣ u ∣)$ sur l'intervalle considéré.
Cas $n = - 1$ à part : la formule $\frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$ ne marche pas pour $n = - 1$ (division par $0$ ). La primitive de $\frac{1}{x}$ est $ln$ , pas une puissance.
Attention au signe de $a$ dans $y^{'} = a y$ : $a > 0$ donne une croissance ( $e^{a x} \to + \infty$ ), $a < 0$ une décroissance vers $0$ . Une erreur de signe inverse tout le comportement.
Solution particulière de $y^{'} = a y + b$ : c'est $- \frac{b}{a}$ (avec le signe moins), pas $\frac{b}{a}$ . La retrouver via $0 = a y + b$ évite l'erreur de signe.
Déterminer $C$ après avoir écrit la solution complète avec son terme constant : appliquer la condition initiale à $y (x)$ tout entier, sans oublier le $- \frac{b}{a}$ .
Vérifier la dérivée : le réflexe « je dérive ma réponse » détecte presque toutes les erreurs de primitive.
Coefficient de $e^{a x}$ : une primitive de $e^{a x}$ est $\frac{1}{a} e^{a x}$ et non $e^{a x}$ ; oublier le $\frac{1}{a}$ est une faute classique.

Primitives et équations différentielles — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

50 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

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Exercices Faciles

13 exercices

Équation y' = ay

Facile

Énoncé

Résoudre sur $R$ les équations différentielles suivantes :

y' = 2y
y' + 3y = 0
2y' − 5y = 0
y' = −y, avec y(0) = 4

Ma réponse

Primitives et équations différentielles

Primitives et équations différentielles — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

1. Définition d'une primitive

2. Primitives et constante

3. Primitives usuelles

4. Primitives de la forme u′un

5. Primitives de la forme uu′​

6. Primitives de la forme u′eu

7. Équations différentielles y′=ay

8. Équations différentielles y′=ay+b

9. Problème de Cauchy et condition initiale

10. Modélisation

✍️ Exemples résolus & démonstrations

Exemple 1 — Reconnaître une forme pour trouver une primitive

Exemple 2 — Résoudre y′=ay+b avec condition initiale

Exemple 3 — Modélisation : refroidissement

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

Primitives et équations différentielles — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Équation y' = ay

Équation y' + ay = b

Équation y'' + ω²y = 0

Équation y' + 3y = 0 avec condition initiale

Résolution de y'' + ay' + by = 0 avec conditions initiales (trois cas)

Énoncé

Résolution d'une équation différentielle simple et condition initiale

Résolution d'une équation différentielle du premier ordre — Bac Côte d'Ivoire 2023

Résolution d'une équation différentielle du premier ordre homogène — Bac Sénégal 2023

Recherche de primitives et primitive vérifiant une condition

Primitives élémentaires et équation $y'=ay$

Recherche d'une primitive et condition initiale

Primitives usuelles

Primitive d'une composée — forme $u'e^u$

Exercices Intermédiaires

Refroidissement — loi de Newton

Oscillateur avec conditions initiales

Équation y' + y = eˣ

Équation du 2nd ordre y'' − 3y' + 2y = 0

Solution particulière polynomiale de y'' + 3y' + 2y = 6x² + 4x − 1

Énoncé

Équation avec second membre : y'' − 4y' = 12eˣ − 12 et condition initiale

Énoncé

Une fonction dont la dérivée est sa réflexion

Énoncé

Équation avec second membre et solution particulière donnée

Énoncé

Équation non linéaire y'=2y²-6y par substitution z=1/y

Énoncé

Équation différentielle d'ordre 2 à coefficients constants

Situation-problème : décroissance radioactive à Casablanca

Modélisation : évolution d'un stock dans une entreprise de Casablanca

Équation $y'=ay+b$ et modélisation d'une population

Équation $y'=ay+b$ et modèle de refroidissement

Refroidissement d'un café : équation $y'=ay+b$

Équation différentielle $y' = ay$

Équation différentielle $y' = ay + b$

Exercices Difficiles

Oscillateur amorti

Équation y'' − 4y' + 4y = e^{2x} (racine double)

Problème BAC : circuit RC

Équation fonctionnelle f'(x) = f(−x) ramenée à y'' + y = 0

Énoncé

Équation d'Euler x²y'' + 3xy' + y = 0 via le changement x = eᵗ

Énoncé

Équation non linéaire ramenée à une équation linéaire

Énoncé

Équation d'Euler par changement de variable

Énoncé

Second membre résonnant traité par changement de fonction

Énoncé

Réciproque d'une primitive et équation y''-y=0

Énoncé

Équation d'Euler x²y''+3xy'+y=0 via z(x)=y(eˣ)

Énoncé

Équation y''-6y'+9y=2e^{3x} et primitive associée

4. Primitives de la forme $u^{'} u^{n}$

5. Primitives de la forme $\frac{u ^{'}}{u}$

6. Primitives de la forme $u^{'} e^{u}$

7. Équations différentielles $y^{'} = a y$

8. Équations différentielles $y^{'} = a y + b$

Exemple 2 — Résoudre $y^{'} = a y + b$ avec condition initiale