La tension (en volts) aux bornes d'un condensateur lors d'une charge est modélisée par une fonction $u$ dérivable sur $[0;+\infty [$, où $t$ est le temps en secondes. Elle vérifie l'équation différentielle :

$$(E):u^{\prime }=-2u+12,$$

avec la condition initiale $u(0)=0$ (condensateur initialement déchargé).

1. Déterminer l'expression de $u(t)$ pour tout $t\ge 0$.

2. Déterminer la limite de $u$ en $+\infty$ et interpréter physiquement.

3. Résoudre l'inéquation $u(t)\ge 6$ d'inconnue $t\ge 0$, et donner la valeur exacte de l'instant $t_0$ à partir duquel la tension dépasse $6$ V.

4. On note $M=\underset{0}{\overset{T}{\int }}u(t)\mathrm{d}t$ la « tension cumulée » sur l'intervalle $[0;T]$ (avec $T>0$). Exprimer $M$ en fonction de $T$.

On étudie l'équation différentielle $$(E):y^{\prime }=3y-6.$$

1. Déterminer la fonction constante $h$ solution de $(E)$.

2. On pose, pour une fonction $y$ dérivable sur $\mathbb{R}$, $z=y-h$ (où $h$ est la fonction trouvée au 1.). Montrer que $y$ est solution de $(E)$ si et seulement si $z$ est solution de l'équation $(E_0):z^{\prime }=3z$. En déduire l'ensemble des solutions de $(E)$.

3. Déterminer la solution $f$ de $(E)$ vérifiant $f(0)=5$.

4. Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=f(x)$, avec $f$ trouvée au 3. Déterminer la primitive $G$ de $g$ qui s'annule en $0$, c'est-à-dire telle que $G(0)=0$.