Limites de fonctions et continuité — Résumé de cours

1ère Année Collège — Lumaths.ma

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1. Limite d'une fonction en l'infini

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle du type $[a; + \infty [$ . On dit que $f$ a pour limite $ℓ$ en $+ \infty$ , et on note $x \to + \infty lim f (x) = ℓ$ , lorsque tout intervalle ouvert contenant $ℓ$ contient toutes les valeurs $f (x)$ pour $x$ assez grand. On dit que $f$ tend vers $+ \infty$ en $+ \infty$ , noté $x \to + \infty lim f (x) = + \infty$ , lorsque tout intervalle $] A; + \infty [$ contient toutes les valeurs $f (x)$ pour $x$ assez grand. Par exemple, $x \to + \infty lim x = + \infty$ et $x \to + \infty lim \frac{1}{x} = 0$ .

Une limite peut ne pas exister : c'est le cas de $cos x$ ou $sin x$ en $+ \infty$ , qui oscillent sans se stabiliser.

2. Limite d'une fonction en un réel

Soit $a$ un réel. On dit que $f$ a pour limite $ℓ$ en $a$ , noté $x \to a lim f (x) = ℓ$ , lorsque $f (x)$ devient aussi proche de $ℓ$ que l'on veut dès que $x$ est suffisamment proche de $a$ . Lorsque $f (x)$ tend vers $+ \infty$ (ou $- \infty$ ) quand $x$ se rapproche de $a$ , on parle de limite infinie en un réel : par exemple $x \to 0^{+} lim \frac{1}{x} = + \infty$ et $x \to 0^{-} lim \frac{1}{x} = - \infty$ .

On distingue souvent la limite à gauche ( $x \to a^{-}$ ) et la limite à droite ( $x \to a^{+}$ ). La limite en $a$ existe seulement si ces deux limites latérales existent et sont égales.

3. Asymptotes

Si $x \to + \infty lim f (x) = ℓ$ (ou en $- \infty$ ), la droite d'équation $y = ℓ$ est asymptote horizontale à la courbe de $f$ . Si $x \to a lim f (x) = \pm \infty$ , la droite verticale $x = a$ est asymptote verticale. Enfin, si $x \to + \infty lim (f (x) - (m x + p)) = 0$ , la droite $y = m x + p$ est asymptote oblique. Par exemple, $f (x) = x + \frac{1}{x}$ admet l'asymptote oblique $y = x$ en $\pm \infty$ .

4. Opérations sur les limites

Les limites d'une somme, d'un produit ou d'un quotient se calculent à partir des limites des termes, à condition d'éviter les cas indéterminés. Pour la somme : si $lim f = ℓ$ et $lim g = ℓ^{'}$ , alors $lim (f + g) = ℓ + ℓ^{'}$ . Pour le produit, $lim (f g) = ℓ \times ℓ^{'}$ . Pour le quotient, $lim \frac{f}{g} = \frac{ℓ}{ℓ ^{'}}$ si $ℓ^{'} \neq = 0$ . Les règles s'étendent aux limites infinies avec la « règle des signes » habituelle (ex. $ℓ > 0$ et $lim g = + \infty$ donne $lim (f g) = + \infty$ ).

5. Limite d'une fonction composée et théorèmes de comparaison

Si $x \to a lim u (x) = b$ et $X \to b lim v (X) = ℓ$ , alors $x \to a lim v (u (x)) = ℓ$ . Théorème de comparaison : si $f (x) ⩾ g (x)$ au voisinage de $+ \infty$ et $lim g = + \infty$ , alors $lim f = + \infty$ . Théorème des gendarmes (encadrement) : si $g (x) ⩽ f (x) ⩽ h (x)$ et $lim g = lim h = ℓ$ , alors $lim f = ℓ$ . Exemple : $- \frac{1}{x} ⩽ \frac{sin x}{x} ⩽ \frac{1}{x}$ donne $x \to + \infty lim \frac{sin x}{x} = 0$ .

6. Formes indéterminées et techniques pour les lever

Les quatre formes indéterminées (FI) sont $+ \infty - \infty$ , $0 \times \infty$ , $\frac{\infty}{\infty}$ et $\frac{0}{0}$ . On ne peut pas conclure directement : il faut transformer l'expression. Pour un polynôme ou un quotient de polynômes en $\pm \infty$ , on factorise par le terme de plus haut degré : $x \to + \infty lim (x^{2} - x) = x \to + \infty lim x^{2} (1 - \frac{1}{x}) = + \infty$ . Pour une FI $\frac{0}{0}$ en un réel, on factorise numérateur et dénominateur ou on utilise la quantité conjuguée avec des racines : $\frac{x - 2}{x - 4} = \frac{1}{x + 2}$ , de limite $\frac{1}{4}$ en $4$ .

7. Croissances comparées

En $+ \infty$ , l'exponentielle l'emporte sur toute puissance, qui l'emporte sur le logarithme. Pour tout entier $n ⩾ 1$ : $x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x ^{n}} = + \infty$ et $x \to + \infty lim \frac{ln x}{x ^{n}} = 0$ . De même $x \to + \infty lim x^{n} e^{- x} = 0$ et $x \to 0^{+} lim x ln x = 0$ . Ces résultats permettent de lever de nombreuses FI mêlant $e^{x}$ , $ln x$ et des puissances.

8. Continuité en un point et sur un intervalle

Une fonction $f$ est continue en $a$ lorsque $x \to a lim f (x) = f (a)$ . Elle est continue sur un intervalle $I$ si elle l'est en chaque point de $I$ . Intuitivement, on trace sa courbe « sans lever le crayon ». Toute fonction dérivable sur $I$ est continue sur $I$ (la réciproque est fausse : $x \mapsto ∣ x ∣$ est continue mais non dérivable en $0$ ). Les fonctions polynômes, rationnelles, racine, $exp$ , $ln$ , $cos$ , $sin$ sont continues sur tout intervalle de leur ensemble de définition, ainsi que leurs sommes, produits, quotients et composées.

9. Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Théorème : si $f$ est continue sur $[a; b]$ , alors pour tout réel $k$ compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , il existe au moins un réel $c \in [a; b]$ tel que $f (c) = k$ . En particulier, si $f (a)$ et $f (b)$ sont de signes contraires, l'équation $f (x) = 0$ admet au moins une solution dans $[a; b]$ . Ce théorème prouve l'existence d'une solution, pas son unicité.

10. Corollaire (théorème de la bijection)

Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a; b]$ , alors pour tout $k$ compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , l'équation $f (x) = k$ admet une unique solution dans $[a; b]$ . Le théorème s'étend aux intervalles ouverts ou infinis en remplaçant $f (a)$ et $f (b)$ par les limites aux bornes. C'est l'outil pour justifier qu'une équation possède une solution unique, qu'on encadre ensuite par balayage ou dichotomie.

11. Continuité et suites définies par $u_{n + 1} = f (u_{n})$

Pour une suite récurrente $u_{n + 1} = f (u_{n})$ , si $(u_{n})$ converge vers $ℓ$ et si $f$ est continue en $ℓ$ , alors $ℓ$ vérifie l'équation de point fixe $f (ℓ) = ℓ$ . En effet, en passant à la limite dans $u_{n + 1} = f (u_{n})$ et par continuité, $ℓ = f (ℓ)$ . Attention : ce résultat suppose la convergence déjà établie (par exemple via le théorème de la limite monotone) ; il ne la démontre pas à lui seul.

✍️ Exemples résolus & démonstrations

Exemple 1 — Lever une forme indéterminée

Énoncé. Calculer $x \to + \infty lim (x^{2} + x - x)$ , puis $x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x ^{2}}$ .

Solution.

Quand $x \to + \infty$ , on a $x^{2} + x \to + \infty$ et $x \to + \infty$ : c'est la forme indéterminée $\infty - \infty$ .
On multiplie par la quantité conjuguée. Pour $x > 0$ : $x^{2} + x - x = \frac{( x ^{2} + x - x ) ( x ^{2} + x + x )}{x ^{2} + x + x} = \frac{x ^{2} + x - x ^{2}}{x ^{2} + x + x} = \frac{x}{x ^{2} + x + x} .$
On factorise par $x$ (avec $x > 0$ , donc $x^{2} = x$ ) : $\frac{x}{x ^{2} + x + x} = \frac{x}{x 1 + \frac{1}{x} + x} = \frac{1}{1 + \frac{1}{x} + 1} .$
Comme $\frac{1}{x} \to 0$ , le dénominateur tend vers $1 + 1 = 2$ , d'où $x \to + \infty lim (x^{2} + x - x) = \frac{1}{2} .$
Pour la seconde limite, $\frac{e ^{x}}{x ^{2}}$ est de la forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$ . Par croissances comparées, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de $x$ : $x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x ^{2}} = + \infty.$

Exemple 2 — Théorème des valeurs intermédiaires (existence et unicité)

Énoncé. Soit $f (x) = x^{3} + x - 1$ définie sur $R$ . Montrer que l'équation $f (x) = 0$ admet une unique solution $α$ , et que $α \in] 0; 1 [$ .

Solution.

$f$ est une fonction polynôme, donc continue et dérivable sur $R$ .
On dérive : $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 1$ . Pour tout réel $x$ , $3 x^{2} \geq 0$ donc $f^{'} (x) \geq 1 > 0$ . Ainsi $f$ est strictement croissante sur $R$ .
On évalue aux bornes : $f (0) = 0^{3} + 0 - 1 = - 1 < 0$ et $f (1) = 1^{3} + 1 - 1 = 1 > 0$ . Donc $0$ est compris entre $f (0)$ et $f (1)$ .
Existence. $f$ étant continue sur $[0; 1]$ et $0$ étant compris entre $f (0)$ et $f (1)$ , le théorème des valeurs intermédiaires assure l'existence d'au moins un réel $α \in] 0; 1 [$ tel que $f (α) = 0$ .
Unicité. Comme $f$ est de plus strictement croissante, chaque valeur n'est atteinte qu'une seule fois : ce réel $α$ est unique (corollaire du TVI, dit théorème de la bijection).
À la calculatrice, $f (0, 6) \approx - 0, 18 < 0$ et $f (0, 7) \approx 0, 04 > 0$ , donc $α \in] 0, 6; 0, 7 [$ , ce qui confirme l'encadrement.

Exemple 3 — Trouver une asymptote

Énoncé. Soit $f (x) = \frac{2 x ^{2} + 3 x - 1}{x - 1}$ , définie sur $R ∖ {1}$ . Étudier les asymptotes de la courbe représentative de $f$ .

Solution.

Asymptote verticale. En $x = 1$ , le numérateur vaut $2 + 3 - 1 = 4 \neq = 0$ et le dénominateur tend vers $0$ . Donc $∣ f (x) ∣ \to + \infty$ : la droite d'équation $x = 1$ est asymptote verticale.
Comportement en l'infini. On effectue la division : $f (x) = \frac{2 x ^{2} + 3 x - 1}{x - 1} = 2 x + 5 + \frac{4}{x - 1} .$ Vérification : $(2 x + 5) (x - 1) + 4 = 2 x^{2} + 3 x - 5 + 4 = 2 x^{2} + 3 x - 1$ . ✓
Quand $x \to + \infty$ (ou $x \to - \infty$ ), $\frac{4}{x - 1} \to 0$ , donc $x \to + \infty lim (f (x) - (2 x + 5)) = 0.$
La droite d'équation $y = 2 x + 5$ est donc asymptote oblique à la courbe en $+ \infty$ et en $- \infty$ .
Position relative. Le signe de $f (x) - (2 x + 5) = \frac{4}{x - 1}$ est celui de $x - 1$ : la courbe est au-dessus de l'asymptote pour $x > 1$ et en dessous pour $x < 1$ .

🔑 Formules clés à retenir

$x \to + \infty lim \frac{1}{x} = 0$ , $x \to 0^{+} lim \frac{1}{x} = + \infty$ , $x \to 0^{-} lim \frac{1}{x} = - \infty$
$x \to + \infty lim x = + \infty$ , $x \to + \infty lim x^{n} = + \infty$ pour $n ⩾ 1$
$x \to + \infty lim e^{x} = + \infty$ , $x \to - \infty lim e^{x} = 0$
$x \to + \infty lim ln x = + \infty$ , $x \to 0^{+} lim ln x = - \infty$
Croissance comparée : $x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x ^{n}} = + \infty$ et $x \to + \infty lim \frac{ln x}{x ^{n}} = 0$ ( $n ⩾ 1$ )
$x \to + \infty lim x^{n} e^{- x} = 0$ , $x \to 0^{+} lim x ln x = 0$
$x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{x} = 1$ , $x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + x )}{x} = 1$
Formes indéterminées : $+ \infty - \infty$ , $0 \times \infty$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $\frac{0}{0}$
Point fixe : si $u_{n + 1} = f (u_{n})$ , $u_{n} \to ℓ$ et $f$ continue en $ℓ$ , alors $f (ℓ) = ℓ$

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Concepts interactifs liés

Manipule ces idées pour les comprendre vraiment

⚡

Le théorème des valeurs intermédiaires

Prouver qu'une solution existe… sans la calculer

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Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

Une forme indéterminée n'est pas une réponse : écrire « $\frac{\infty}{\infty}$ » ou « $\infty - \infty$ » comme résultat est faux ; il faut transformer l'expression avant de conclure.
Limites à gauche et à droite : en un réel où $f$ change de comportement (ex. $\frac{1}{x}$ en $0$ ), ne pas oublier de distinguer $x \to a^{-}$ et $x \to a^{+}$ ; la limite n'existe que si elles coïncident.
Continuité $\neq =$ dérivabilité : $x \mapsto ∣ x ∣$ est continue partout mais non dérivable en $0$ . Dérivable $\Rightarrow$ continue, mais jamais l'inverse.
Le TVI donne l'existence, pas l'unicité : sans hypothèse de stricte monotonie, l'équation peut avoir plusieurs solutions. Pour l'unicité, invoquer le corollaire (bijection).
Ne pas appliquer le TVI à une fonction discontinue : la continuité sur $[a; b]$ est indispensable ; une fonction « avec un saut » peut éviter la valeur $k$ .
Point fixe et convergence : $f (ℓ) = ℓ$ ne prouve pas que $(u_{n})$ converge ; il faut d'abord établir la convergence indépendamment, sinon on identifie une limite qui n'existe peut-être pas.
Croissances comparées : ne pas se fier au « plus rapide visible » : en $+ \infty$ , $e^{x}$ écrase toute puissance, et toute puissance écrase $ln x$ , même $x^{0, 001}$ .
Signe au dénominateur : pour une limite infinie en un réel, déterminer le signe du dénominateur de chaque côté de $a$ pour trouver $+ \infty$ ou $- \infty$ .

Limites de fonctions et continuité — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

50 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

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Exercices Faciles

11 exercices

Limite en +∞ et asymptote oblique

Facile

Énoncé

Exercice 2

On considère la fonction f définie sur $[0; + \infty [$ par :

$f (x) = \frac{2 x ^{2} + 3 x - 1}{x + 1}$

Effectuer la division euclidienne de $2 x^{2} + 3 x - 1$ par $x + 1$ , puis en déduire l'expression de $f (x)$ sous la forme $f (x) = a x + b + r (x)$ , où $r (x)$ est un reste à préciser.
Calculer $x \to + \infty lim f (x)$ . Conclure sur l'existence d'une asymptote oblique en $+ \infty$ et donner son équation.
Calculer $x \to + \infty lim [f (x) - (2 x + 1)]$ . Que peut-on en déduire ?

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Limites de fonctions et continuité

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1. Limite d'une fonction en l'infini

2. Limite d'une fonction en un réel

3. Asymptotes

4. Opérations sur les limites

5. Limite d'une fonction composée et théorèmes de comparaison

6. Formes indéterminées et techniques pour les lever

7. Croissances comparées

8. Continuité en un point et sur un intervalle

9. Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

10. Corollaire (théorème de la bijection)

11. Continuité et suites définies par un+1​=f(un​)

✍️ Exemples résolus & démonstrations

Exemple 1 — Lever une forme indéterminée

Exemple 2 — Théorème des valeurs intermédiaires (existence et unicité)

Exemple 3 — Trouver une asymptote

🔑 Formules clés à retenir

Concepts interactifs liés

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

Limites de fonctions et continuité — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Limite en +∞ et asymptote oblique

Continuité, TVI et équation f(x) = k sur un intervalle

Limites de référence et formes indéterminées

Continuité et TVI

Limite d'une fonction exponentielle

Calcul de limites avec racines n-ièmes

Énoncé

Limite d'une fonction polynomiale

Continuity Check

Limites et asymptotes d'une fonction rationnelle

Formes indéterminées variées et quantité conjuguée

Lever des formes indéterminées : quotient et expression conjuguée

Exercices Intermédiaires

Limites, formes indéterminées et théorème des valeurs intermédiaires

Application du TVI : existence d'une solution

Limites de référence et forme indéterminée 1^∞

Limites avec formes indéterminées et croissances comparées

Asymptotes et étude de fonction avec logarithme

Formes indéterminées, asymptotes obliques et étude locale

Application du théorème des valeurs intermédiaires — Bac Sénégal 2023

Limites et formes indéterminées

Détermination de paramètres pour la continuité

TVI — Existence et localisation de racines

Continuité par encadrement (théorème des gendarmes)

Énoncé

Équations avec radicaux d'indices variés

Énoncé

Calcul de limites avec radicaux

Énoncé

Limites avec racines n-ièmes

Énoncé

Équations irrationnelles avec radicaux

Énoncé

Fonction paramétrée : monotonie et racine unique

Énoncé

Limite d'une fonction composée

Limite d'une fonction logarithmique

Prolongement par continuité

Théorème des valeurs intermédiaires

Trouver k pour rendre f continue en x=1

Limite à l'infini avec ln

TVI et théorème de la bijection : unicité et encadrement d'une solution

Croissances comparées et asymptote oblique

Formes indéterminées et croissances comparées

Exercices Difficiles

Limite de forme 1^∞ et étude complète

Étude complète : TVI, asymptotes et suite récurrente

Étude complète : continuité, asymptotes et TVI appliqué

Étude d'une fonction et continuité (Bac niveau)

Étude complète BAC — Asymptote oblique

Existence et unicité d'une racine (TVI + monotonie)

Énoncé

Étude complète : limite, réciproque, dichotomie

Énoncé

11. Continuité et suites définies par $u_{n + 1} = f (u_{n})$