Bac spécialité Maths — Polynésie, 17 juin 2025 (Jour 1)

Sauf mention contraire, toute réponse devra être justifiée.

Exercice 1 (5 points)

En 2020, une étude américaine a cartographié pour la première fois les allergies alimentaires chez l'enfant aux États-Unis. On dénote par $R$ l'évènement « l'enfant habite en zone rurale » et par $A$ l'évènement « l'enfant est atteint d'une allergie alimentaire ».

D'après cette étude :

• $17\%$ des enfants des États-Unis habitent en zone rurale, soit $P(R)=0,17$ ;
• parmi les enfants habitant en zone rurale, $6,2\%$ sont atteints d'allergie alimentaire, soit $P_R(A)=0,062$ ;
• $9\%$ des enfants des États-Unis sont atteints d'allergie alimentaire, soit $P(A)=0,09$.

Partie A

1. Représenter la situation par un arbre de probabilité (complété avec les probabilités manquantes).
2. a. Calculer $P(R\cap A)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
   b. En déduire $P(\bar{R}\cap A)$.
   c. En déduire $P_{\bar{R}}(A)$, arrondi à $10^{-4}$ près.

Partie B

On interroge au hasard $100$ enfants américains de manière indépendante. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre d'enfants, parmi les $100$ interrogés, atteints d'une allergie alimentaire.

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2. Calculer $P(X⩾10)$, arrondi à $10^{-4}$ près.

Partie C

On note $A$ la variable aléatoire qui représente l'âge d'apparition des premiers symptômes allergiques chez un enfant américain. Des études montrent que $E(A)=4$ (en années) et $V(A)=2,25$.

On choisit au hasard $20$ enfants atteints d'une allergie alimentaire et on note $M_{20}$ la variable aléatoire représentant la moyenne de leurs âges d'apparition des premiers symptômes.

1. Interpréter la variable aléatoire $M_{20}$ dans le contexte de l'exercice.
2. Calculer $E(M_{20})$ et $V(M_{20})$.
3. En utilisant l'inégalité de concentration, montrer que $P(2<M_{20}<6)>0,97$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Exercice 2 (5 points)

Deux avions sont en approche d'un aéroport. On munit l'espace d'un repère orthonormé dont l'origine $O$ est le pied de la tour de contrôle. Le sol est le plan ${\mathcal{P}}_0$ d'équation $z=0$. L'unité des axes correspond à $1$ km.

L'avion Bêta transmet à la tour sa trajectoire définie par la droite $d_B$ dont une représentation paramétrique est :

$$\{\begin{array}{l}x=-11+5t\\ y=-5+t\\ z=11-4t\end{array}\text{ouˋ }t\text{ deˊcrit }\mathbb{R}.$$

L'avion Alpha transmet à la tour sa position en $A(-7;1;7)$ et sa trajectoire est dirigée par le vecteur $\vec{u}\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ -3\end{array}\right)$.

1. S'il ne dévie pas de sa trajectoire, déterminer les coordonnées du point $S$ en lequel l'avion Bêta touchera le sol.
2. a. Donner une représentation paramétrique de la droite $d_A$ caractérisant la trajectoire de l'avion Alpha.
   b. Les deux avions peuvent-ils entrer en collision ? Justifier.
3. a. Démontrer que l'avion Alpha passe par la position $E(-3;-1;1)$.
   b. Justifier qu'une équation cartésienne du plan ${\mathcal{P}}_E$ passant par $E$ et perpendiculaire à la droite $d_A$ est : $2x-y-3z+8=0$.
   c. Vérifier que le point $F(-1;-3;3)$ est le point d'intersection du plan ${\mathcal{P}}_E$ et de la droite $d_B$.
   d. Calculer la valeur exacte de la distance $EF$, puis vérifier que cela correspond à une distance d'environ $3464$ m à $1$ m près.
4. La réglementation aérienne stipule que deux avions en approche doivent être à tout instant à au moins $3$ milles nautiques l'un de l'autre (1 mille nautique vaut $1852$ m). Si les avions Alpha et Bêta sont respectivement en $E$ et en $F$ au même instant, leur distance de sécurité est-elle respectée ?

Exercice 3 (5 points)

Pour tout entier naturel $n$, on définit la fonction $f_n$ sur $[0;+\infty [$ par :

$$f_0(x)=e^{-x}\text{et, pour }n⩾1,f_n(x)=x^n{e}^{-x}.$$

On note ${\mathcal{C}}_n$ la courbe représentative de $f_n$ dans un repère orthonormé.

Partie A : Étude des fonctions $f_n$ pour $n⩾1$

1. a. Montrer que pour tout $x⩾0$ : $f_n^{\prime }(x)=(n-x)x^{n-1}{e}^{-x}$.
   b. Le tableau de variations de $f_n$ ci-dessous est donné ; justifier chacun des éléments le composant.

2. Montrer que pour tout entier naturel non nul $n$, la courbe ${\mathcal{C}}_n$ passe par le point $A\left(1;e^{-1}\right)$.

Partie B : Étude des intégrales $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{f}_n(x)\mathrm{d}x$ pour $n⩾0$

Pour tout entier naturel $n$, on pose $I_n=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{f}_n(x)\mathrm{d}x$.

1. a. Interpréter géométriquement $I_0$.
   b. En observant les courbes ${\mathcal{C}}_n$ sur le graphique fourni, formuler une conjecture sur la limite de la suite $(I_n)$.
2. Calculer $I_0$.
3. a. Montrer que pour tout entier naturel $n$ et pour tout réel $x$ de $[0;1]$ : $0⩽x^{n+1}⩽x^n$.
   b. En déduire que pour tout entier naturel $n$ : $0⩽I_{n+1}⩽I_n$.
4. Démontrer que la suite $(I_n)$ converge vers une limite $\ell ⩾0$.
5. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que pour tout entier naturel $n$ :

$$I_{n+1}=(n+1)I_n-\frac{1}{e}.$$

6. a. On suppose par l'absurde que $\ell >0$. Montrer que cela entraîne $\underset{n\to +\infty }{\lim }{I}_{n+1}=+\infty$, ce qui contredit la convergence de $(I_n)$.
   b. Conclure que $\ell =0$.
7. On considère le script Python suivant :

from math import exp
def mystere(N):
    I = 1 - 1/exp(1)
    L = [I]
    for i in range(N):
        I = (i + 1) * I - 1/exp(1)
        L.append(I)
    return L

Expliquer ce que calcule et renvoie l'appel mystere(100).

Exercice 4 (5 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. On considère l'équation différentielle $(E):y^{\prime }=\frac{1}{2}y+4$.
   Affirmation n° 1 : Les solutions de $(E)$ sont les fonctions $f$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=k{e}^{\frac{1}{2}x}-8$, où $k$ est un réel quelconque.
2. Dans une classe de terminale, il y a $18$ filles et $14$ garçons. On constitue une équipe de volley-ball en choisissant au hasard $3$ filles et $3$ garçons.
   Affirmation n° 2 : Il y a $297024$ possibilités pour former une telle équipe.
3. On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $v_n=\frac{n}{2+\cos (n)}$.
   Affirmation n° 3 : La suite $(v_n)$ est divergente.
4. Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les points $A(1;1;2)$, $B(5;-1;8)$ et $C(2;1;3)$.
   Affirmation n° 4 : Le produit scalaire $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=10$ et l'angle $\widehat{BAC}$ mesure $30°$.
5. On considère la fonction $h$ définie sur $]0;+\infty [$ telle que, pour tout $x>0$ : $h^{\prime \prime }(x)=x\ln (x)-3x$.
   Affirmation n° 5 : La fonction $h$ est convexe sur $[e^3;+\infty [$.