Bac spécialité Maths — Métropole, 18 juin 2025 (Jour 2)

Exercice 1 (5 points)

Les parties A et B sont indépendantes.

Dans une station de ski, on s'intéresse à l'apprentissage du ski par des débutants au cours de leurs premières séances.

Une étude statistique a permis d'établir les constats suivants :

• la probabilité qu'un débutant chute lors de sa première séance est égale à $0,6$ ;
• s'il a chuté lors de la première séance, la probabilité qu'il chute lors de la deuxième séance est égale à $0,3$ ;
• s'il n'a pas chuté lors de la première séance, la probabilité qu'il chute lors de la deuxième séance est égale à $0,4$.

On choisit au hasard un débutant et on considère les évènements suivants :

• $A$ : « le débutant chute lors de la première séance » ;
• $B$ : « le débutant chute lors de la deuxième séance ».

Pour un évènement $E$ quelconque, on note $\overline{E}$ son évènement contraire et $P(E)$ sa probabilité. Si besoin, les résultats seront arrondis au millième.

Partie A

1. Construire un arbre pondéré représentant la situation.
2. Montrer que la probabilité qu'une personne ne chute pas lors des deux premières séances est égale à $0,24$.
3. Montrer que $P(B)=0,34$.
4. Sachant que le débutant n'a pas chuté lors de la deuxième séance, calculer la probabilité qu'il n'ait pas chuté lors de la première séance. On donnera la valeur arrondie au millième.
5. On interroge maintenant $100$ débutants choisis au hasard et de façon indépendante. On admet que ce choix peut être assimilé à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de débutants, parmi les $100$, n'ayant pas chuté lors des deux premières séances.
   1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
   2. Calculer la probabilité $P(X⩾20)$. On donnera la valeur arrondie au millième.
   3. Calculer l'espérance de $X$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie B

On note $T_1$ la variable aléatoire qui modélise, en minutes, le temps passé sur les pistes le premier jour et $T_2$ la variable aléatoire qui modélise, en minutes, le temps passé sur les pistes le deuxième jour. On admet que $T_1$ et $T_2$ sont indépendantes et que :

• $E(T_1)=40$ et $\sigma (T_1)=10$ ;
• $E(T_2)=60$ et $\sigma (T_2)=16$.

On note $T=T_1+T_2$ le temps total, en minutes, passé sur les pistes au cours des deux jours.

1. Déterminer l'espérance $E(T)$ et la variance $V(T)$ de la variable aléatoire $T$.
2. À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, démontrer que $P(60<T<140)>0,77$.

Exercice 2 (5 points)

Les parties A et B sont indépendantes.

L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$.

On considère les points $A(-1;2;1)$, $B(1;-1;2)$, $C(1;1;1)$ et $S\left(-\frac{1}{2};1;4\right)$.

On considère le vecteur $\vec{n}\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 4\end{array}\right)$.

On considère la droite $d$ de représentation paramétrique $\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{2}+2t\\ y=2+t\\ z=3-t\end{array}$ avec $t\in \mathbb{R}$, et la droite $d^{\prime }$ de représentation paramétrique $\{\begin{array}{l}x=s\\ y=\frac{3}{2}+s\\ z=3-2s\end{array}$ avec $s\in \mathbb{R}$.

Partie A

1. Démontrer que les droites $d$ et $d^{\prime }$ sont sécantes et déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.
2. 1. Justifier que le vecteur $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
   2. En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est $x+2y+4z-7=0$.
3. Démontrer que les points $A$, $B$, $C$ et $S$ ne sont pas coplanaires.
4. On note $H$ le projeté orthogonal du point $S$ sur le plan $(ABC)$.
   1. Démontrer que $H$ a pour coordonnées $(-1;0;2)$.
   2. En déduire la distance du point $S$ au plan $(ABC)$, puis justifier que pour tout point $M$ du plan $(ABC)$ distinct de $H$, on a $SM>\frac{\sqrt{21}}{2}$.

Partie B

Dans cette partie, on s'intéresse aux points $M$ du segment $[CS]$ tels que le triangle $MAB$ soit rectangle en $M$.

1. Soit $M(x;y;z)$ un point du segment $[CS]$. Justifier qu'il existe un réel $k\in [0;1]$ tel que $\overrightarrow{CM}=k\overrightarrow{CS}$, puis exprimer les coordonnées de $M$ en fonction de $k$.
2. Démontrer qu'un tel point $M$ rend le triangle $MAB$ rectangle en $M$ si et seulement si $k$ est solution de l'équation $45k^2-24k-8=0$.
3. Déterminer le nombre de points $M$ du segment $[CS]$ tels que le triangle $MAB$ soit rectangle en $M$.

Exercice 3 (5 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples : pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse devra être justifiée. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte. Les quatre questions sont indépendantes.

1. La suite $(u_n)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par $$u_n=\frac{1+5^n}{2+3^n}.$$

   Affirmation 1 : la suite $(u_n)$ converge vers $\frac{5}{3}$.

2. On considère la suite $(w_n)$ définie par $w_0=0$ et, pour tout entier naturel $n$, $$w_{n+1}=3w_n-2n+3.$$

   Affirmation 2 : pour tout entier naturel $n$, $w_n⩾n$.

3. Soit $f$ une fonction définie et deux fois dérivable sur $]0;+\infty [$. On a tracé ci-dessous la courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$ de $f$ ainsi que sa tangente au point $A$ d'abscisse $8$.

   [Figure : courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$ de $f$ sur $]0;+\infty [$ et sa tangente au point $A$ d'abscisse $8$. Sur la portion représentée, la courbe est située en dessous de cette tangente au voisinage de $A$.]

   Affirmation 3 : la fonction $f$ est convexe sur $]0;+\infty [$.

4. Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par $f(x)=\ln (x)-x+1$.

   Affirmation 4 : pour tout réel $x$ de $]0;+\infty [$, $f(x)⩽0$.

Exercice 4 (5 points)

Les parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante.

On étudie le déplacement d'un chariot sur un rail rectiligne. À l'instant $t=0$ (en secondes), le chariot est lancé puis ralentit jusqu'à s'arrêter. On note $f(t)$ la distance, en mètres, parcourue par le chariot depuis l'instant initial au bout de $t$ secondes.

Partie A

On a tracé ci-dessous la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0;+\infty [$, ainsi que sa droite asymptote $\Delta$ et la tangente à la courbe au point $A$ d'abscisse $0$.

[Figure : courbe représentative de $f$ croissante sur $[0;+\infty [$ admettant une asymptote horizontale $\Delta$. La tangente au point $A$ d'abscisse $0$ passe par les points de coordonnées $(0;16,5)$ et $(4,7;21)$. On lit $f(2)=15$.]

1. Par lecture graphique, déterminer la distance parcourue par le chariot au bout de $2$ secondes.
2. L'asymptote $\Delta$ a une équation de la forme $y=k$. La piste mesure $23$ m de long. Une zone de $23$ m semble-t-elle suffisante pour que le chariot s'arrête ? Justifier.
3. Déterminer graphiquement une valeur approchée du coefficient directeur de la tangente à la courbe au point $A$.

Partie B

On note $v(t)$ la vitesse du chariot, en mètres par seconde, à l'instant $t$ (en secondes). On admet que la fonction $v$ est définie et dérivable sur $[0;+\infty [$ et qu'elle est solution de l'équation différentielle $$(E):y^{\prime }+0,6y={\mathrm{e}}^{-0,6t},$$ avec la condition initiale $v(0)=12$.

1. 1. On considère l'équation différentielle $(E^{\prime }):y^{\prime }+0,6y=0$. Donner l'ensemble des solutions de l'équation $(E^{\prime })$ sur $[0;+\infty [$.
   2. Soit $g$ la fonction définie sur $[0;+\infty [$ par $g(t)=t{\mathrm{e}}^{-0,6t}$. Démontrer que $g$ est une solution particulière de l'équation $(E)$.
   3. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation $(E)$ sur $[0;+\infty [$.
   4. Déterminer l'expression de la fonction $v$ en utilisant la condition initiale.
2. 1. Démontrer que pour tout réel $t⩾0$, $v^{\prime }(t)={\mathrm{e}}^{-0,6t}(-6,2-0,6t)$.
   2. Déterminer $\underset{t\to +\infty }{\lim }v(t)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
   3. Étudier le signe de $v^{\prime }(t)$ sur $[0;+\infty [$ et en déduire le sens de variation de $v$.
   4. Dresser le tableau de variations de $v$ sur $[0;+\infty [$.
3. Le système d'arrêt du chariot se déclenche lorsque la vitesse du chariot descend à $1\text{m}\cdot {\text{s}}^{-1}$. Justifier qu'il existe un unique instant $\alpha$ tel que $v(\alpha )=1$ et déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $0,1$ près. On admettra que $v(4,6)\approx 1,05$ et $v(4,7)\approx 0,995$.

Partie C

On rappelle que $v(t)=(12+t){\mathrm{e}}^{-0,6t}$ et que la distance parcourue par le chariot entre les instants $0$ et $t$ est donnée par $$d(t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}(12+x){\mathrm{e}}^{-0,6x}\mathrm{d}x.$$

1. À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que pour tout réel $t⩾0$, $$d(t)={\mathrm{e}}^{-0,6t}\left(-\frac{5}{3}t-\frac{205}{9}\right)+\frac{205}{9}.$$
2. En déduire la distance parcourue par le chariot au moment du déclenchement du système d'arrêt, c'est-à-dire à l'instant $\alpha \approx 4,7$ s. On donnera la valeur arrondie au centimètre.