Bac spécialité Maths — Centres Étrangers, 12 juin 2025 (Jour 1)

Exercice 1 (6 points) — Probabilités

Un grand magasin utilise des caisses automatiques. Chaque passage en caisse fait l'objet d'un contrôle qui peut être total ou partiel.

• La probabilité qu'un contrôle soit total est $\frac{1}{10}$ ; la probabilité qu'il soit partiel est $\frac{9}{10}$.
• Lors d'un contrôle total, la probabilité qu'une erreur soit détectée est $0,3$.
• Lors d'un contrôle partiel, la probabilité qu'aucune erreur ne soit détectée est $0,85$.

On désigne par $T$ l'évènement « le contrôle est total » et par $E$ l'évènement « une erreur est détectée ». On note $\overline{T}$ et $\overline{E}$ leurs évènements contraires.

Partie A

1. Construire un arbre pondéré représentant la situation, puis calculer $P(\overline{T}\cap E)$.
2. Montrer que $P(E)=0,165$.
3. Sachant qu'une erreur a été détectée, calculer la probabilité que le contrôle ait été total. Arrondir à $10^{-2}$ près.

Partie B

On contrôle $15$ passages en caisse. On suppose que les contrôles sont indépendants et que la probabilité de détecter une erreur lors d'un contrôle est $0,165$. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de contrôles où une erreur est détectée parmi ces $15$ contrôles.

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.
2. Calculer $P(X=5)$. Arrondir à $10^{-2}$ près.
3. Calculer $P(X⩾1)$. Arrondir à $10^{-2}$ près.
4. On contrôle maintenant $n$ passages en caisse (avec les mêmes hypothèses). On note $Y$ la variable aléatoire comptant les erreurs détectées. Déterminer la plus petite valeur entière de $n$ telle que $P(Y⩾1)⩾0,99$.

Partie C

Le magasin dispose de trois caisses automatiques. Chaque caisse est contrôlée sur $20$ passages. On note $X_1$, $X_2$, $X_3$ les variables aléatoires, indépendantes, comptant le nombre d'erreurs détectées dans chaque caisse, chacune suivant une loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,165$. On pose $S=X_1+X_2+X_3$.

1. Calculer l'espérance $E(X_1)$ et la variance $V(X_1)$.
2. En déduire $E(S)$ et $V(S)$.
3. En appliquant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à $S$, minorer $P(6<S<14)$.

Exercice 2 (4 points) — Géométrie dans l'espace (QCM)

Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Indiquer la lettre de la réponse choisie et la justifier.

On munit l'espace d'un repère orthonormé $(O;\vec{ı},\vec{ȷ},\vec{k})$. On considère :

• Les points $A(-3;1;4)$ et $B(1;5;2)$ ;
• Le plan $\mathcal{P}$ d'équation $4x+4y-2z+3=0$ ;
• La droite $(d)$ de représentation paramétrique $\{\begin{array}{l}x=2+t\\ \\ y=-1+t\\ \\ z=1-t\end{array}$, $t\in \mathbb{R}$ ;
• Le point $C(0;1;-1)$.

Question 1. Les droites $(AB)$ et $(d)$ sont :

1. Sécantes et non perpendiculaires
2. Parallèles distinctes
3. Confondues
4. Non coplanaires

Question 2. La droite $(AB)$ et le plan $\mathcal{P}$ sont :

1. Sécants et non perpendiculaires
2. Parallèles
3. Confondus (la droite est incluse dans le plan)
4. Perpendiculaires (orthogonaux)

Question 3. Le plan ${\mathcal{P}}^{\prime }$ d'équation $2x+y+6z+5=0$ et le plan $\mathcal{P}$ sont :

1. Parallèles
2. Perpendiculaires
3. Confondus
4. Sécants et non perpendiculaires

Question 4. L'angle $\widehat{BAC}$ vaut approximativement :

1. $38°$
2. $51°$
3. $63°$
4. $72°$

Exercice 3 (6 points) — Analyse et suites

On considère la fonction $f$ définie sur $]-1;+\infty [$ par $$f(x)=4\ln (x+1)-\frac{x^2}{25}.$$

Partie A

1. Déterminer $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }f(x)$.
2. Calculer $f^{\prime }(x)$ pour tout $x\in ]-1;+\infty [$.
3. Montrer que $f^{\prime }(x)=\frac{-2x^2-2x+100}{25(x+1)}$. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$ sur $]-1;+\infty [$.
4. On pose $h(x)=f(x)-x$. Montrer que l'équation $h(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[2;6,5]$.
5. On dispose du script Python suivant :

   from math import log
   def f(x):
       return 4*log(x+1) - x**2/25
   
   def bornes(a):
       b = a + 4.5
       while b - a > 0.01:
           m = (a + b) / 2
           if f(m) - m > 0:
               a = m
           else:
               b = m
       return (round(a,2), round(b,2))

   1. Quelle valeur renvoie l'appel bornes(2) ?
   2. Interpréter ce résultat.

Partie B

On définit la suite $(u_n)$ par $u_0=2$ et, pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1}=f(u_n)$.

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ : $2⩽u_n⩽u_{n+1}⩽6,5$.
2. En déduire que la suite $(u_n)$ converge. On note $\ell$ sa limite.
3. Justifier que $\ell =\alpha$.

Exercice 4 (4 points) — Équations différentielles

On modélise la croissance d'une population bactérienne dans un milieu de culture. La population est exprimée en milliers de bactéries. À l'instant $t=0$ (en heures), la population est de $30000$ bactéries, soit $p(0)=30$.

On note $(E_1)$ l'équation différentielle : $(E_1):y^{\prime }+0,48y=\frac{1}{250}$ définie sur $[0;+\infty [$.

Partie A

1. Vérifier que la fonction $h$ définie par $h(t)=\frac{1}{120}$ est solution particulière de $(E_1)$.
2. Résoudre l'équation homogène associée à $(E_1)$, c'est-à-dire $y^{\prime }+0,48y=0$.
3. En déduire les solutions générales de $(E_1)$ sur $[0;+\infty [$.

Partie B

La population $p(t)$ vérifie l'équation différentielle logistique : $$(E_2):p^{\prime }=\frac{1}{250}p(120-p).$$

1. On pose $y(t)=\frac{1}{p(t)}$. Montrer que si $p$ est solution de $(E_2)$, alors $y$ est solution de $(E_1)$.
2. En utilisant les résultats de la Partie A, exprimer $p(t)$ sous la forme $p(t)=\frac{120}{1+K{\mathrm{e}}^{-0,48t}}$ où $K$ est une constante réelle.
3. Déterminer la valeur de $K$ grâce à la condition initiale $p(0)=30$.
4. Déterminer $\underset{t\to +\infty }{\lim }p(t)$ et interpréter ce résultat.
5. À partir de quel instant $t$ (en heures et minutes) la population dépasse-t-elle $60000$ bactéries ?