Bac spécialité Maths — Métropole, 19 juin 2024 (Jour 1)

Exercice 1 (4 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=5x{e}^{-x}$. On note ${\mathcal{C}}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.

   Affirmation 1 : L'axe des abscisses est une asymptote horizontale à la courbe ${\mathcal{C}}_f$.

   Affirmation 2 : La fonction $f$ est solution sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle $(E)$ : $y^{\prime }+y=5e^{-x}$.

2. On considère les suites $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$, telles que, pour tout entier naturel $n$ : $u_n\le v_n\le w_n$. De plus, la suite $(u_n)$ converge vers $-1$ et la suite $(w_n)$ converge vers $1$.

   Affirmation 3 : La suite $(v_n)$ converge vers un nombre réel $\ell$ appartenant à l'intervalle $[-1;1]$.

   On suppose de plus que la suite $(u_n)$ est croissante et que la suite $(w_n)$ est décroissante.

   Affirmation 4 : Pour tout entier naturel $n$, on a alors : $u_0\le v_n\le w_0$.

Exercice 2 (5 points)

Une agence de marketing a étudié la satisfaction des clients concernant le service clientèle à l'occasion de l'achat d'un téléviseur. Ces achats ont été réalisés soit sur internet, soit dans une chaîne de magasins d'électroménager, soit dans une enseigne de grandes surfaces. Les achats sur internet représentent $60\%$ des ventes, les achats en magasin d'électroménager $30\%$ des ventes et ceux en grandes surfaces $10\%$ des ventes.

Une enquête montre que la proportion des clients satisfaits du service clientèle est de : $75\%$ pour les clients sur internet ; $90\%$ pour les clients en magasin d'électroménager ; $80\%$ pour les clients en grande surface.

On choisit au hasard un client ayant acheté le modèle de téléviseur concerné. On considère les évènements : $I$ « achat sur internet » ; $M$ « achat en magasin d'électroménager » ; $G$ « achat en grande surface » ; $S$ « le client est satisfait du service clientèle ». Si $A$ est un évènement quelconque, on note $\bar{A}$ son contraire et $P(A)$ sa probabilité.

1. Reproduire et compléter l'arbre pondéré ci-dessous.

   [Figure : arbre pondéré dont le premier niveau porte les trois branches $I$ ($0,6$), $M$ ($0,3$), $G$ ($0,1$), et dont chaque branche se prolonge par les deux issues $S$ et $\bar{S}$.]

2. Calculer la probabilité que le client ait réalisé son achat sur internet et soit satisfait.
3. Démontrer que $P(S)=0,8$.
4. Un client est satisfait. Quelle est la probabilité qu'il ait effectué son achat sur internet ? On arrondira le résultat à $10^{-3}$.
5. L'agence contacte chaque jour $30$ clients. On admet que ce nombre est suffisamment grand pour que ce tirage soit assimilé à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de clients satisfaits parmi les $30$ contactés.
   1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
   2. Déterminer $P(X\ge 25)$, arrondie à $10^{-3}$.
6. En résolvant une inéquation, déterminer la taille minimale de l'échantillon de clients à contacter pour que la probabilité qu'au moins l'un d'entre eux ne soit pas satisfait soit supérieure à $0,99$.
7. Dans cette question, on s'intéresse uniquement aux achats réalisés sur internet. Le temps de livraison, en jours, est modélisé par la variable aléatoire $T=T_1+T_2$, où $T_1$ et $T_2$ sont indépendantes. On donne : $E(T_1)=4$, $V(T_1)=2$ ; $E(T_2)=3$, $V(T_2)=1$.
   1. Déterminer $E(T)$ et $V(T)$.
   2. Justifier que la probabilité que le client reçoive son téléviseur entre $5$ et $9$ jours est supérieure ou égale à $\frac{2}{3}$. (On pourra utiliser l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.)

Exercice 3 (5 points)

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. On considère les points $A(5;5;0)$, $B(0;5;0)$, $C(0;0;10)$ et $D\left(0;0;-\frac{5}{2}\right)$.

[Figure : tétraèdre s'appuyant sur les points $A$, $B$, $C$, $D$ dans le repère.]

1. 1. Montrer que $\overrightarrow{n_1}(1;-1;0)$ est un vecteur normal au plan $(CAD)$.
   2. En déduire que le plan $(CAD)$ a pour équation cartésienne $x-y=0$.
2. On considère la droite $\mathcal{D}$ de représentation paramétrique : $\{\begin{array}{l}x=\frac{5}{2}t\\ y=5-\frac{5}{2}t\\ z=0\end{array}$ avec $t\in \mathbb{R}$.
   1. On admet que $\mathcal{D}$ et $(CAD)$ sont sécants en un point $H$. Justifier que $H$ a pour coordonnées $\left(\frac{5}{2};\frac{5}{2};0\right)$.
   2. Démontrer que $H$ est le projeté orthogonal de $B$ sur le plan $(CAD)$.
3. 1. Démontrer que le triangle $ABH$ est rectangle en $H$.
   2. En déduire que l'aire du triangle $ABH$ est égale à $\frac{25}{4}$.
4. 1. Démontrer que $(CO)$ est la hauteur du tétraèdre $ABCH$ issue de $C$.
   2. En déduire le volume du tétraèdre $ABCH$. On rappelle que le volume d'un tétraèdre est $V=\frac{1}{3}\times \mathcal{B}\times h$ où $\mathcal{B}$ désigne l'aire d'une base et $h$ la hauteur associée.
5. On admet que le triangle $ABC$ est rectangle en $B$. Déduire des questions précédentes la distance du point $H$ au plan $(ABC)$.

Exercice 4 (6 points)

Partie A : étude de la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty [$ par $f(x)=x-2+\frac{1}{2}\ln x$. On admet que $f$ est deux fois dérivable sur $]0;+\infty [$ et on note $f^{\prime }$ et $f^{\prime \prime }$ ses dérivées première et seconde.

1. 1. Déterminer les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$.
   2. Montrer que pour tout $x>0$, $f^{\prime }(x)=\frac{2x+1}{2x}$.
   3. Étudier le sens de variation de $f$ sur $]0;+\infty [$.
   4. Étudier la convexité de $f$ sur $]0;+\infty [$.
2. 1. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]0;+\infty [$ et que $\alpha \in [1;2]$.
   2. Déterminer le signe de $f(x)$ pour $x\in ]0;+\infty [$.
   3. Montrer que $\ln (\alpha )=2(2-\alpha )$.

Partie B : étude de la fonction $g$ définie sur $]0;1]$ par $g(x)=-\frac{7}{8}{x}^2+x-\frac{1}{4}{x}^2\ln x$. On admet que $g$ est dérivable sur $]0;1]$ et on note $g^{\prime }$ sa dérivée.

1. Calculer $g^{\prime }(x)$ pour $x\in ]0;1]$ puis vérifier que $g^{\prime }(x)=xf\left(\frac{1}{x}\right)$.
2. 1. Justifier que pour $x\in \left]0;\frac{1}{\alpha }\right[$, on a $f\left(\frac{1}{x}\right)>0$.
   2. On admet le tableau de signes de $f\left(\frac{1}{x}\right)$ : positif sur $\left]0;\frac{1}{\alpha }\right[$, nul en $\frac{1}{\alpha }$ et négatif sur $\left]\frac{1}{\alpha };1\right]$. En déduire le tableau de variations de $g$ sur $]0;1]$ (les images et les limites ne sont pas demandées).

Partie C : calcul d'aire. Dans un repère orthonormé, on a représenté la courbe ${\mathcal{C}}_g$ de la fonction $g$ et la parabole $\mathcal{P}$ d'équation $y=-\frac{7}{8}{x}^2+x$ sur $]0;1]$.

[Figure : courbe ${\mathcal{C}}_g$ et parabole $\mathcal{P}$ ; le domaine hachuré est compris entre les deux courbes et les droites d'équations $x=\frac{1}{\alpha }$ et $x=1$.]

On souhaite calculer l'aire $\mathcal{A}$ du domaine hachuré compris entre les courbes ${\mathcal{C}}_g$ et $\mathcal{P}$ et les droites d'équations $x=\frac{1}{\alpha }$ et $x=1$. On rappelle que $\ln (\alpha )=2(2-\alpha )$.

1. 1. Justifier la position relative des courbes ${\mathcal{C}}_g$ et $\mathcal{P}$ sur $]0;1]$.
   2. Démontrer l'égalité : $\underset{1/\alpha }{\overset{1}{\int }}{x}^2\ln xdx=\frac{-{\alpha }^3-6\alpha +13}{9{\alpha }^3}$.
2. En déduire l'expression en fonction de $\alpha$ de l'aire $\mathcal{A}$.