Bac spécialité Maths — Amérique du Nord, 22 mai 2024 (Jour 2)

Exercice 1 (5 points)

Les données publiées le 1^er mars 2023 par le ministère de la transition écologique sur les immatriculations de véhicules particuliers en France en 2022 contiennent les informations suivantes :

• $22,86\%$ des véhicules étaient des véhicules neufs ;
• $8,08\%$ des véhicules neufs étaient des hybrides rechargeables ;
• $1,27\%$ des véhicules d'occasion (c'est-à-dire qui ne sont pas neufs) étaient des hybrides rechargeables.

Dans tout l'exercice, les probabilités seront arrondies au dix-millième.

Partie I

Dans cette partie, on considère un véhicule particulier immatriculé en France en 2022. On note :

• $N$ l'évènement « le véhicule est neuf » ;
• $R$ l'évènement « le véhicule est hybride rechargeable » ;
• $\overline{N}$ et $\overline{R}$ les évènements contraires des évènements $N$ et $R$.

1. Représenter la situation par un arbre pondéré.
2. Calculer la probabilité que ce véhicule soit neuf et hybride rechargeable.
3. Démontrer que la valeur arrondie au dix-millième de la probabilité que ce véhicule soit hybride rechargeable est $0,0283$.
4. Calculer la probabilité que ce véhicule soit neuf sachant qu'il est hybride rechargeable.

Partie II

Dans cette partie, on choisit $500$ véhicules particuliers hybrides rechargeables immatriculés en France en 2022. Dans la suite, on admettra que la probabilité qu'un tel véhicule soit neuf est égale à $0,65$. On assimile le choix de ces $500$ véhicules à un tirage aléatoire avec remise. On appelle $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de véhicules neufs parmi les $500$ véhicules choisis.

1. On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser la valeur de ses paramètres.
2. Déterminer la probabilité qu'exactement $325$ de ces véhicules soient neufs.
3. Déterminer la probabilité $p(X\ge 325)$ puis interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie III

On choisit désormais $n$ véhicules particuliers hybrides rechargeables immatriculés en France en 2022, où $n$ désigne un entier naturel strictement positif. On rappelle que la probabilité qu'un tel véhicule soit neuf est égale à $0,65$. On assimile le choix de ces $n$ véhicules à un tirage aléatoire avec remise.

1. Donner l'expression en fonction de $n$ de la probabilité $p_n$ que tous ces véhicules soient d'occasion.
2. On note $q_n$ la probabilité qu'au moins un de ces véhicules soit neuf. En résolvant une inéquation, déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que $q_n\ge 0,9999$.

Exercice 2 (5 points)

On considère le pavé droit $ABCDEFGH$ tel que $AB=3$ et $AD=AE=1$ représenté ci-dessous.

[Figure : pavé droit $ABCDEFGH$ de base $ABCD$ et de face supérieure $EFGH$ ($E$ au-dessus de $A$, $F$ au-dessus de $B$, $G$ au-dessus de $C$, $H$ au-dessus de $D$). Le point $I$ est placé sur $[AB]$ et le point $M$ sur l'arête $[CD]$.]

On considère le point $I$ du segment $[AB]$ tel que $\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AI}$ et on appelle $M$ le milieu du segment $[CD]$. On se place dans le repère orthonormé $\left(A;\overrightarrow{AI},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)$.

1. Sans justifier, donner les coordonnées des points $F$, $H$ et $M$.
2. 1. Montrer que le vecteur $\vec{n}\left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ 3\end{array}\right)$ est un vecteur normal au plan $(HMF)$.
   2. En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(HMF)$ est : $2x+6y+3z-9=0$.
   3. Le plan $\mathcal{P}$ dont une équation cartésienne est $5x+15y-3z+7=0$ est-il parallèle au plan $(HMF)$ ? Justifier la réponse.
3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(DG)$.
4. On appelle $N$ le point d'intersection de la droite $(DG)$ avec le plan $(HMF)$. Déterminer les coordonnées du point $N$.
5. Le point $R$ de coordonnées $\left(3;\frac{1}{4};\frac{1}{2}\right)$ est-il le projeté orthogonal du point $G$ sur le plan $(HMF)$ ? Justifier la réponse.

Exercice 3 (6 points)

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0;1]$ par $g(x)=2x-x^2$.

1. Montrer que la fonction $g$ est strictement croissante sur l'intervalle $[0;1]$ et préciser les valeurs de $g(0)$ et de $g(1)$.

On considère la suite $(u_n)$ définie par $\{\begin{array}{l}{u}_0=\frac{1}{2}\\ u_{n+1}=g(u_n)\end{array}$ pour tout entier naturel $n$.

2. Calculer $u_1$ et $u_2$.
3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $0<u_n<u_{n+1}<1$.
4. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.
5. Déterminer la limite $\ell$ de la suite $(u_n)$.

On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=\ln (1-u_n)$.

6. Démontrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $2$ et préciser son premier terme.
7. En déduire une expression de $v_n$ en fonction de $n$.
8. En déduire une expression de $u_n$ en fonction de $n$ et retrouver la limite déterminée à la question 5.
9. Recopier et compléter le script Python ci-dessous afin que celui-ci renvoie le rang $n$ à partir duquel la suite dépasse $0,95$.

def seuil() :
    n=0
    u=0.5
    while u < 0.95 :
        n=...
        u=...
    return n

Exercice 4 (4 points)

Soit $a$ un réel strictement positif. On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0;+\infty [$ par $f(x)=a\ln (x)$. On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé. Soit $x_0$ un réel strictement supérieur à $1$.

1. Déterminer l'abscisse du point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ et de l'axe des abscisses.
2. Vérifier que la fonction $F$ définie par $F(x)=a\left[x\ln (x)-x\right]$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0;+\infty [$.
3. En déduire l'aire du domaine bleuté en fonction de $a$ et de $x_0$.

[Figure : courbe $\mathcal{C}$ d'équation $y=a\ln (x)$, point $M$ d'abscisse $x_0$ sur $\mathcal{C}$ ; le domaine bleuté est compris entre la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites verticales $x=1$ et $x=x_0$.]

On note $T$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $M$ d'abscisse $x_0$. On appelle $A$ le point d'intersection de la tangente $T$ avec l'axe des ordonnées et $B$ le projeté orthogonal de $M$ sur l'axe des ordonnées.

[Figure : courbe $\mathcal{C}$, point $M$ d'abscisse $x_0$, tangente $T$ en $M$ ; $A$ est l'intersection de $T$ avec l'axe des ordonnées et $B$ le projeté orthogonal de $M$ sur l'axe des ordonnées.]

4. Démontrer que la longueur $AB$ est égale à une constante (c'est-à-dire à un nombre qui ne dépend pas de $x_0$) que l'on déterminera. Le candidat prendra soin d'expliciter sa démarche.