Bac spécialité Maths — Centres Étrangers, 3 juin 2021 (Jour 2)

1. Calculer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$. Interpréter graphiquement ces limites.
2. Montrer que $f$ est dérivable sur $]0;+\infty [$ et que, pour tout $x>0$ : $$f^{\prime }(x)=\frac{2x^2-3x+2}{x}$$
3. Étudier le signe du numérateur $g(x)=2x^2-3x+2$ sur $]0;+\infty [$. En déduire les variations de $f$ sur $]0;+\infty [$.
   (On rappelle que le discriminant de $g$ pourra être calculé.)

1. Calculer $f^{\prime \prime }(x)$ pour $x>0$. En déduire les intervalles sur lesquels ${\mathcal{C}}_f$ est convexe et ceux sur lesquels elle est concave. Déterminer les coordonnées de l'éventuel point d'inflexion.
2. Montrer que la tangente à ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $x_0=1$ a pour équation : $$y=-x+2$$
3. Étudier la position de ${\mathcal{C}}_f$ par rapport à cette tangente sur $]0;+\infty [$.
   On posera $h(x)=f(x)-(-x+2)$ et on étudiera le signe de $h(x)$.

1. Vérifier que la fonction $F$ définie par $F(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+2x\ln x-x$ est une primitive de $f$ sur $]0;+\infty [$.
2. Calculer, en unités d'aire, l'aire du domaine délimité par ${\mathcal{C}}_f$, la droite $y=-x+2$ et les droites $x=1$ et $x=e$.

On pose, pour $x\in \left]\frac{1}{2};+\infty \right[$, la fonction $\phi (x)=\frac{x^2+2}{2x-1}$.

1. Montrer que les points fixes de $\phi$ (solutions de $\phi (x)=x$) sont $x=2$ et $x=-1$.
   On ne considérera par la suite que le point fixe $\ell =2$.
2. Calculer ${\phi }^{\prime }(x)$ pour $x>\frac{1}{2}$. On montrera que ${\phi }^{\prime }(x)=\frac{2x^2-2x-4}{(2x-1{)}^2}$.
3. Montrer que pour tout $x\in [2;3]$, on a $\phi (x)\in [2;3]$.
   On pourra étudier les variations de $\phi$ sur $[2;3]$.

1. Montrer par récurrence que pour tout $n\ge 0$, on a $u_n\in [2;3]$.
2. On pose $v_n=u_n-2$ pour tout $n\ge 0$.
   1. Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$ et $u_n$.
   2. Montrer que pour tout $n\ge 0$ : $$0\le v_{n+1}\le \frac{5}{9}{v}_n$$
   3. En déduire que $(v_n)$ converge vers $0$, puis que $(u_n)$ converge vers $2$.
3. On note $S_n=\sum _{k=0}^n{v}_k$. Montrer que $S_n$ converge et exprimer sa limite en fonction de $v_0$.

1. On considère l'algorithme suivant, écrit en pseudo-code :

   u ← 3
   n ← 0
   Tant que |u - 2| > 0.001 :
       u ← (u² + 2) / (2u - 1)
       n ← n + 1
   Afficher n, u

   Que calcule cet algorithme ? Donner la valeur de $n$ obtenue (on pourra effectuer les calculs à la calculatrice).

1. Calculer $P(49,2\le X\le 50,8)$ et interpréter ce résultat dans le contexte.
2. Un tube est considéré conforme si son diamètre appartient à l'intervalle $[49;51]$. Calculer la probabilité $p$ qu'un tube soit conforme. On donnera la valeur arrondie à $10^{-4}$.
3. On prélève un lot de $n=500$ tubes. Soit $N$ la variable aléatoire égale au nombre de tubes conformes dans ce lot.
   1. Justifier que $N$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
   2. Donner l'espérance et l'écart-type de $N$. Peut-on approcher $N$ par une loi normale ? Justifier.
   3. En utilisant l'approximation normale, calculer $P(N\ge 487)$.

Le fournisseur affirme que le taux de tubes conformes est au moins égal à $98\%$. Un contrôleur qualité prélève un échantillon de $n=200$ tubes et observe que $189$ sont conformes.

1. On note $\hat{p}=\frac{189}{200}$ la fréquence observée. On souhaite tester, au seuil de $5\%$, l'hypothèse $H_0:p=0,98$ contre $H_1:p<0,98$.
   1. Calculer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $5\%$ pour la fréquence $\hat{p}$ (test unilatéral gauche). On rappelle que $z_{0,05}\approx 1,645$.
   2. Conclure : doit-on rejeter $H_0$ ? Le contrôleur peut-il remettre en cause l'affirmation du fournisseur ?
2. Calculer la p-valeur de ce test, c'est-à-dire $P\left(\hat{P}\le \frac{189}{200}|H_0\right)$ sous l'approximation normale.
   On donnera la valeur arrondie à $10^{-3}$.

1. Calculer les vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{BC}$. Le quadrilatère $ABCD$ est-il un parallélogramme ? Justifier.
2. Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}$. Le quadrilatère est-il un rectangle ? Justifier.
3. Calculer $\Vert \overrightarrow{AB}\Vert$ et $\Vert \overrightarrow{AD}\Vert$. Le quadrilatère est-il un losange, un carré ?

1. Montrer qu'un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$ est $\vec{n}(2;-1;1)$.
2. Montrer que la droite $\Delta$ est parallèle au plan $\mathcal{P}$ mais n'y est pas incluse.
3. Déterminer l'équation du plan $\mathcal{Q}$ contenant la droite $\Delta$ et perpendiculaire au plan $\mathcal{P}$.

1. Calculer la distance du point $B$ au plan $\mathcal{P}$. On rappelle que la distance d'un point $M(x_0,y_0,z_0)$ au plan $ax+by+cz+d=0$ est : $$d=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$
2. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ du point $B$ sur le plan $\mathcal{P}$.
3. En déduire la distance de $B$ à la droite d'intersection du plan $\mathcal{P}$ avec le plan $z=0$, notée ${\Delta }_0$. (On déterminera d'abord une équation de ${\Delta }_0$.)