Baccalauréat Général — Épreuve de Mathématiques
Spécialité Mathématiques
Session : Centres Étrangers — 2 juin 2021 (Jour 1)
Durée : 4 heures | Coefficient : 7
CONSIGNES
- Le candidat doit traiter 3 exercices parmi les 4 proposés.
- Chaque exercice est noté sur 7 points ; la note totale est ramenée sur 20.
- La qualité de la rédaction et la clarté des raisonnements seront valorisées.
- L'usage d'une calculatrice est autorisé.
- Les exercices sont indépendants et peuvent être traités dans n'importe quel ordre.
Rappel : Le candidat choisit 3 exercices sur 4 et le signale clairement en tête de copie.
Exercice 1 — Suites (7 points)
On considère la suite définie par :
Partie A — Premières propriétés
1. Calculer et . Donner les valeurs exactes.
2. On pose .
a) Déterminer l'ensemble de définition de et calculer .
b) En déduire les variations de sur .
3.
a) Montrer que pour .
b) En déduire que admet un unique point fixe dans . Exprimer en précisant s'il s'agit d'un nombre rationnel ou irrationnel.
Partie B — Monotonie et encadrement
4.
a) Montrer par récurrence que, pour tout , .
b) En déduire que est croissante.
5. Montrer que la suite est convergente et déterminer sa limite.
Partie C — Suite auxiliaire
6. On pose, pour tout : .
a) Montrer que est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme .
b) Exprimer en fonction de , puis en fonction de .
c) Vérifier que , en cohérence avec la partie B.
Exercice 2 — Probabilités (7 points)
Une entreprise propose deux types de forfaits internet : le forfait Basic et le forfait Premium. Une étude de marché montre que :
- 60 % des abonnés ont choisi le forfait Basic, les autres ont choisi le forfait Premium.
- Parmi les abonnés Basic, 15 % signalent un incident technique au cours d'un mois donné.
- Parmi les abonnés Premium, 5 % signalent un incident technique au cours d'un mois donné.
On choisit un abonné au hasard. On note :
- : « l'abonné a choisi le forfait Basic »
- : « l'abonné a choisi le forfait Premium »
- : « l'abonné signale un incident technique »
Partie A — Probabilités
1. Construire un arbre de probabilités représentant la situation.
2. Calculer et .
3. Calculer , la probabilité qu'un abonné choisi au hasard signale un incident.
4. Sachant qu'un abonné signale un incident, quelle est la probabilité qu'il soit abonné au forfait Premium ? On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée au centième.
Partie B — Loi binomiale
Le service client traite les incidents dans l'ordre d'arrivée. On observe que, de manière indépendante, chaque incident traité est résolu dès le premier appel avec une probabilité de 0,8.
On considère une journée où le service client traite 10 incidents. On appelle le nombre d'incidents résolus dès le premier appel au cours de cette journée.
5.
a) Justifier que suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
b) Calculer . On donnera une valeur approchée à près.
c) Calculer . On donnera une valeur approchée à près.
6.
a) Calculer l'espérance et l'interpréter dans le contexte.
b) Calculer l'écart-type et donner une valeur approchée au centième.
Partie C — Simulation
7. On cherche à estimer le nombre minimum de journées consécutives à observer pour que la probabilité qu'au moins une journée enregistre dépasse 0,99.
a) Calculer .
b) Exprimer, en fonction de , la probabilité qu'au moins une journée parmi enregistre .
c) Déterminer la valeur entière minimale de (on pourra utiliser le logarithme).
Exercice 3 — Géométrie dans l'espace (7 points)
Dans un repère orthonormal de l'espace, on donne les points :
, , , .
Partie A — Plan
1.
a) Calculer les vecteurs et .
b) Calculer le produit vectoriel et vérifier que (on admettra le résultat si le calcul n'est pas maîtrisé).
c) En déduire une équation cartésienne du plan .
2. Vérifier que , , sont non colinéaires. En déduire que le plan est bien défini.
3. Le point appartient-il au plan ? Justifier.
Partie B — Droite et projection
On note la droite passant par et perpendiculaire au plan .
4. Donner une représentation paramétrique de la droite .
5.
a) Déterminer les coordonnées du point , pied de la perpendiculaire abaissée de sur le plan .
b) Calculer la distance .
Partie C — Tétraèdre
6.
a) Calculer l'aire du triangle à l'aide de .
b) En déduire le volume du tétraèdre à l'aide de la formule .
Partie D — Droite dans l'espace
On considère la droite de représentation paramétrique :
7.
a) La droite est-elle parallèle au plan ? perpendiculaire ? Justifier.
b) Si n'est pas parallèle au plan, déterminer le point d'intersection de avec le plan .
Exercice 4 — Fonctions (7 points)
On considère la fonction définie sur par :
On note sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
Partie A — Étude des limites et asymptotes
1.
a) Calculer . Quelle est la droite asymptote à en ?
b) Calculer .
Partie B — Dérivée et variations
2.
a) Calculer et montrer que .
b) Factoriser et en déduire le signe de selon les valeurs de .
c) Dresser le tableau de variations complet de .
3.
a) Montrer que admet un maximum local en et un minimum local en .
b) Calculer les valeurs exactes et .
Partie C — Convexité et point d'inflexion
4.
a) Calculer et montrer que .
b) Étudier le signe de et en déduire les intervalles de convexité et de concavité de .
c) Déterminer les points d'inflexion de .
Partie D — Équation et inégalité
5.
a) Montrer que l'équation admet exactement deux solutions réelles et avec . On admettra que et .
b) En déduire, sans calcul supplémentaire, l'ensemble des solutions de l'inégalité .
Partie E — Intégrale
6. On admet que la primitive de qui s'annule en est :
a) Vérifier cette affirmation en calculant .
b) Calculer l'aire, en unités d'aire, de la région délimitée par et l'axe des abscisses sur l'intervalle . On pourra utiliser les valeurs approchées et .