BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — SESSION 2021

L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé. L'usage de la calculatrice sans mémoire « type collège » est autorisé.

Le candidat traite 3 des 4 exercices proposés. Chaque exercice est noté sur 7 points. La note finale, sur 21 points, est ramenée sur 20.

Les quatre exercices sont indépendants. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation des copies.

EXERCICE 1 (7 points) — Fonction exponentielle, aire et intégrale

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $$f(x)=(x+1)e^{-x}.$$ On note ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\vec{ı},\vec{ȷ})$.

Partie A — Étude de la fonction $f$

1. Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$. On pourra écrire $f(x)=x{e}^{-x}+e^{-x}$. En déduire l'existence d'une asymptote à la courbe ${\mathcal{C}}_f$ et préciser sa nature.
2. Montrer que pour tout réel $x$, $f^{\prime }(x)=-x{e}^{-x}$.
3. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variations complet de $f$ sur $\mathbb{R}$ (limites comprises).
4. Montrer que l'équation $f(x)=\frac{1}{2}$ admet exactement une solution $\alpha$ sur l'intervalle $[1;2]$. Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$.

Partie B — Une primitive et un calcul d'aire

On considère la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par $$F(x)=(-x-2)e^{-x}.$$

5. Démontrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.
6. Justifier que $f(x)\ge 0$ pour tout $x\in [0;1]$.
7. On note $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe ${\mathcal{C}}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$. Calculer la valeur exacte de $\mathcal{A}$, puis en donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
8. Déterminer la valeur moyenne $m$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0;1]$.

EXERCICE 2 (7 points) — Suites, récurrence, encadrement et convergence

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et, pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1}=\frac{1}{2}{u}_n+3.$$

1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $2\le u_n\le 6$.
3. Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante. Que peut-on en déduire quant à sa convergence ? (On justifiera précisément.)
4. On pose, pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n-6$.
   1. Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
   2. En déduire l'expression de $v_n$ puis de $u_n$ en fonction de $n$.
   3. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
5. On souhaite déterminer le plus petit entier $n$ tel que $6-u_n\le 10^{-3}$.
   1. Résoudre cette inéquation et donner la valeur de ce plus petit entier $n_0$.
   2. Recopier et compléter le script Python ci-dessous afin qu'il renvoie cette valeur $n_0$ :
      def seuil() :
          u = 2
          n = 0
          while ........... :
              u = ...........
              n = n + 1
          return n

EXERCICE 3 (7 points) — Probabilités conditionnelles et loi binomiale

Une entreprise fabrique des composants électroniques sur deux chaînes de production, notées $A$ et $B$. La chaîne $A$ fournit $60\%$ de la production totale, la chaîne $B$ le reste.

On sait que :

• $3\%$ des composants issus de la chaîne $A$ sont défectueux ;
• $5\%$ des composants issus de la chaîne $B$ sont défectueux.

On prélève au hasard un composant dans la production totale. On note les événements :

• $A$ : « le composant provient de la chaîne $A$ » ;
• $B$ : « le composant provient de la chaîne $B$ » ;
• $D$ : « le composant est défectueux ».

Partie A

1. Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous traduisant la situation.
   ____ D A __/ / \____ D̄ / < \ ____ D B __/ \____ D̄
2. Calculer la probabilité $P(A\cap D)$.
3. Démontrer que la probabilité qu'un composant prélevé soit défectueux est $P(D)=0,038$.
4. Un composant prélevé est défectueux. Calculer la probabilité qu'il provienne de la chaîne $B$. On donnera le résultat arrondi à $10^{-3}$.

Partie B

On prélève au hasard $20$ composants dans la production. La production est suffisamment importante pour assimiler ces prélèvements à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de composants défectueux parmi les $20$ prélevés. On rappelle que $P(D)=0,038$.

5. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
6. Calculer la probabilité qu'exactement deux composants soient défectueux. Arrondir à $10^{-3}$.
7. Calculer la probabilité qu'au moins un composant soit défectueux. Arrondir à $10^{-3}$.
8. Déterminer l'espérance $E(X)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

EXERCICE 4 (7 points) — Géométrie dans l'espace

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{ı},\vec{ȷ},\vec{k})$. On considère les points : $$A(2;0;1),B(0;3;2),C(1;1;-1),D(3;-1;4).$$

1. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$. Justifier que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
2. 1. Démontrer que le vecteur $\vec{n}(7;5;-1)$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
   2. En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est : $7x+5y-z-13=0$.
3. Le point $D$ appartient-il au plan $(ABC)$ ? Justifier.
4. On considère la droite $\Delta$ passant par $D$ et orthogonale au plan $(ABC)$.
   1. Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
   2. Déterminer les coordonnées du point $H$, projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(ABC)$.
5. Calculer la distance du point $D$ au plan $(ABC)$.
6. Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$, puis en déduire une valeur approchée, au degré près, de la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$.