Partie A — Étude d'une suite auxiliaire

1. Montrer que, pour tout entier $n\ge 0$, si $u_n\ne -2$ alors $u_{n+1}$ est bien défini.
2. On pose $v_n=\frac{u_n-2}{u_n+2}$ pour tout entier $n\ge 0$.
   1. Calculer $v_0$.
   2. Montrer que, pour tout entier $n\ge 0$ : $$v_{n+1}=\frac{1}{2}{v}_n$$
   3. En déduire que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\frac{1}{2}$ et donner son terme général $v_n$ en fonction de $n$.

Partie B — Étude de la suite $(u_n)$

1. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, en utilisant le résultat de la partie A.
2. Montrer que, pour tout entier $n\ge 0$ : $$u_n-2=\frac{-4}{{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-n}+1}$$ (on pourra partir de l'expression de $v_n$)
3. Étudier la monotonie de la suite $(u_n)$. La suite est-elle croissante, décroissante ou ni l'une ni l'autre ? Justifier.
4. Déterminer la limite de $u_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$. Interpréter géométriquement ce résultat.
5. On définit la suite $(w_n)$ par $w_n=u_n-2$.
   1. Montrer que $(w_n)$ est une suite géométrique et préciser sa raison et son premier terme.
   2. En déduire la somme $S_n=\sum _{k=0}^n{w}_k$ en fonction de $n$.

Partie A — Modélisation et probabilités

1. Construire un arbre pondéré représentant la situation.
2. Calculer $P(A\cap D)$ et $P(\bar{A}\cap D)$.
3. Calculer la probabilité $P(D)$ qu'un capteur pris au hasard soit défectueux.
   On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-3}$ près.
4. Sachant qu'un capteur prélevé est défectueux, calculer la probabilité qu'il provienne de la ligne L1. On notera ce résultat $P(A\mid D)$. Commenter ce résultat.

Partie B — Contrôle par lot

Un client reçoit une commande de 20 capteurs prélevés indépendamment dans la production totale. On admet que la probabilité qu'un capteur soit défectueux est $p=0,052$ (valeur arrondie issue de la partie A).

1. Justifier que la variable aléatoire $X$ comptant le nombre de capteurs défectueux parmi les 20 suit une loi binomiale $\mathcal{B}(20;0,052)$.
2. Calculer l'espérance $E(X)$ et l'écart-type $\sigma (X)$. Interpréter $E(X)$.
3. Calculer $P(X=0)$, $P(X=1)$ et $P(X\ge 2)$.
   On arrondira à $10^{-4}$ près.
4. Le client décide de retourner la commande si elle contient au moins 2 capteurs défectueux.
   1. Quelle est la probabilité que la commande soit retournée ?
   2. Sur une année, le client reçoit 50 commandes de ce type. En moyenne, combien de commandes seront retournées ? (Résultat arrondi à l'unité.)

Partie A — Le plan (ABC)

1. Calculer les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
2. Vérifier que le vecteur $\vec{n}=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 2\end{array}\right)$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
   On montrera que $\vec{n}\cdot \overrightarrow{AB}=0$ et $\vec{n}\cdot \overrightarrow{AC}=0$.
3. En déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
4. Le point $D$ appartient-il au plan $(ABC)$ ? Justifier.

Partie B — La droite (BD)

1. Donner une représentation paramétrique de la droite $(BD)$.
2. Montrer que la droite $(BD)$ est parallèle au plan $(ABC)$ mais n'y est pas incluse.
3. Soit $H$ le pied de la perpendiculaire abaissée de $D$ sur le plan $(ABC)$.
   1. Écrire une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par $D$ et perpendiculaire au plan $(ABC)$.
   2. Déterminer les coordonnées de $H$.
   3. Calculer la distance $d(D,(ABC))$.

Partie A — Étude de la fonction

1. Calculer $f^{\prime }(x)$.
   On factorisera le résultat sous la forme $f^{\prime }(x)=P(x)e^{-x}$ où $P$ est un polynôme que l'on précisera.
2. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
3. Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$. Interpréter graphiquement la limite en $+\infty$.
4. Montrer que l'équation $f(x)=0$ n'a pas de solution réelle. (On étudiera le discriminant de $x^2-x+1$.)

Partie B — Primitive et intégrale

1. On admet que $F(x)=-(x^2+x+2)e^{-x}$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$. Vérifier ce résultat en calculant $F^{\prime }(x)$.
2. Calculer l'intégrale : $$I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx$$ On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-3}$ près.
3. Interpréter géométriquement la valeur $I$ trouvée. L'aire calculée est-elle cohérente avec le tableau de variations ? Justifier brièvement.

Partie C — Point de rebroussement et tangente

1. Déterminer les coordonnées du point $M$ de la courbe ${\mathcal{C}}_f$ en lequel la tangente est horizontale.
2. Écrire l'équation de la tangente $\mathcal{T}$ à ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $x=0$.
3. Montrer que $\mathcal{T}$ est en dessous de ${\mathcal{C}}_f$ sur $[0;1]$, c'est-à-dire que $f(x)\ge f(0)+f^{\prime }(0)\cdot x$ pour tout $x\in [0;1]$.
   On pourra étudier le signe de $f(x)-f(0)-f^{\prime }(0)\cdot x$ sur $[0;1]$.