📄 Mémento 2ème Bac SM

∑ Suites numériques (BAC)

Tout le chapitre sur une page : formules, méthode, pièges. À lire 5 min avant un contrôle.

📐Formules clés

Récurrence

$u_{n + 1}$ = f( $u_{n}$ ) → monotonie via signe de $u_{n + 1}$ − $u_{n}$

Suites adjacentes

( $u_{n}$ ) croissante + ( $v_{n}$ ) décroissante + $v_{n}$ − $u_{n}$ →0 → même limite

Convergence

Toute suite monotone et bornée converge

🪜La méthode-type

Identifier la nature de la suite (récurrente, explicite) et conjecturer le comportement à étudier (monotonie, bornes, limite).
Démontrer une propriété (encadrement, majoration) par récurrence : initialisation au rang $n_{0}$ , puis hérédité $P (n) \Rightarrow P (n + 1)$ .
Étudier la monotonie via le signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ , ou le quotient $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ si la suite est positive.
Conclure la convergence par le théorème de la limite monotone (suite croissante majorée ou décroissante minorée).
Si $u_{n + 1} = f (u_{n})$ avec $f$ continue, la limite $ℓ$ vérifie le point fixe $f (ℓ) = ℓ$ : résoudre cette équation.

⚠️Pièges à éviter

Suite convergente ≠ suite bornée (implication dans un seul sens)

✍️Exercice-type

Soit

(u_{n})

définie par

u_{0} = 1

u_{n + 1} = 2 + u_{n}

.
1) Montrer que pour tout

n

0 < u_{n} < 2

.
2) Étudier la monotonie de

(u_{n})

.
3) En déduire que

(u_{n})

converge et déterminer sa limite.

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1) Récurrence. $0 < u_{0} = 1 < 2$ . Si $0 < u_{n} < 2$ , alors $2 < 2 + u_{n} < 4$ , donc $2 < u_{n + 1} < 2$ , d'où $0 < u_{n + 1} < 2$ .

2) $u_{n + 1} - u_{n} = 2 + u_{n} - u_{n} = \frac{2 + u _{n} - u _{n}^{2}}{2 + u _{n} + u _{n}}$ . Le numérateur $- (u_{n} - 2) (u_{n} + 1) > 0$ car $0 < u_{n} < 2$ . Donc $(u_{n})$ est strictement croissante.

3) $(u_{n})$ est croissante et majorée par $2$ , donc elle converge vers $ℓ \in [1, 2]$ . Par continuité, $ℓ = 2 + ℓ$ , soit $ℓ^{2} - ℓ - 2 = 0$ , donc $ℓ = 2$ (la racine $- 1$ est exclue). Ainsi $lim u_{n} = 2$ .

🎯

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