📄 Mémento 2ème Bac SM

∫ Intégration

Tout le chapitre sur une page : formules, méthode, pièges. À lire 5 min avant un contrôle.

📐Formules clés

Primitives usuelles

 $\int x^{n} = x^{n + 1} / (n + 1) \cdot \int 1/ x = ln ∣ x ∣ \cdot \int e^{x} = e^{x} \cdot \int cos = sin \cdot \int sin = - cos$

Intégration par parties

$\int u v^{'} = [uv] - \int u^{'} v$

Ex :

\int x \cdot e^{x} d x = x \cdot e^{x} - \int e^{x} d x = (x - 1) e^{x} + C

Linéarité

$\int (a f + b g) = a \int f + b \int g$

Relation de Chasles

∫ $_{a}^{c}$ f = ∫ $_{a}^{b}$ f + ∫ $_{β}^{c}$ f

Inégalités

 $f \geq 0$  sur  $[a, b] \Rightarrow a \int b f \geq 0$  ;  $m \leq f \leq M \Rightarrow m (b - a) \leq \int f \leq M (b - a)$

Aire entre 2 courbes

Aire = ∫ $_{a}^{b}$ |f(x)−g(x)|dx

🪜La méthode-type

Reconnaître une primitive directe à l'aide des formules usuelles ( $\int x^{n} d x$ , $\int \frac{u ^{'}}{u} d x = ln ∣ u ∣$ , $\int u^{'} e^{u} d x = e^{u}$ ).
Pour un produit du type polynôme $\times (e^{x}$ ou $ln)$ , appliquer l'intégration par parties $a \int b u^{'} v = [uv]_{a}^{b} - a \int b u v^{'}$ .
Choisir $u$ et $v^{'}$ de sorte que $\int u v^{'}$ soit plus simple (dériver le polynôme, intégrer l'exponentielle).
Évaluer $[F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)$ en respectant les bornes.
Pour une aire entre $C_{f}$ et l'axe sur $[a, b]$ : calculer $a \int b ∣ f (x) ∣ d x$ (en unités d'aire) selon le signe de $f$ .

⚠️Pièges à éviter

∫ $_{a}^{b}$ f = F(b) − F(a) (pas F(a) − F(b))
Ne pas oublier la constante C pour les primitives sans bornes

✍️Exercice-type

Calculer

I = 0 \int 1 x e^{x} d x

, puis l'aire du domaine compris entre la courbe de

f (x) = x e^{x}

, l'axe des abscisses et les droites

x = 0

x = 1

Voir le corrigé ▾

IPP : on pose $u (x) = x$ , $v^{'} (x) = e^{x}$ , donc $u^{'} (x) = 1$ , $v (x) = e^{x}$ .
$I = [x e^{x}]_{0}^{1} - 0 \int 1 e^{x} d x = (1 \cdot e^{1} - 0) - [e^{x}]_{0}^{1} = e - (e - 1) = 1$ .

Aire : sur $[0, 1]$ , $f (x) = x e^{x} \geq 0$ , donc l'aire vaut $0 \int 1 x e^{x} d x = I = 1$ unité d'aire.

🎯

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