📄 Mémento 2ème Bac SM

f' Dérivabilité

Tout le chapitre sur une page : formules, méthode, pièges. À lire 5 min avant un contrôle.

📐Formules clés

Dérivées usuelles

(xⁿ)' = nxⁿ⁻¹ · ( $x$ )' = 1/(2 $x$ ) · (ln x)' = 1/x · (eˣ)' = eˣ

Produit

(uv)' = u'v + uv'

Quotient

(u/v)' = (u'v − uv') / v²

Composée

(f∘g)' = g' × f'(g(x))

Ex : (

e^{x^{2}}

)' = 2x×

e^{x^{2}}

Tangente en x₀

y = f'(x₀)(x−x₀) + f(x₀)

🪜La méthode-type

Pour la dérivabilité en $a$ : étudier $x \to a lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}$ ; si finie elle vaut $f^{'} (a)$ .
Calculer $f^{'}$ avec les règles usuelles : produit, quotient, et composée $(g \circ u)^{'} = u^{'} \times g^{'} (u)$ .
Déterminer le signe de $f^{'} (x)$ (factorisation, tableau de signes).
Dresser le tableau de variations en reportant signe de $f^{'}$ , sens de variation et limites/valeurs aux bornes.
Exploiter le tableau pour les extremums, le nombre de solutions d'une équation ou des inéquations.

⚠️Pièges à éviter

(ln(u))' = u'/u (pas juste 1/u)
Signe de f' → sens de variation, pas la valeur de f

✍️Exercice-type

Soit

f (x) = \frac{x ^{2} - 3}{x - 1}

sur

R ∖ {1}

.
1) Calculer

f^{'} (x)

.
2) Dresser le tableau de variations de

f

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1) Quotient : $f^{'} (x) = \frac{2 x ( x - 1 ) - ( x ^{2} - 3 )}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{x ^{2} - 2 x + 3}{( x - 1 ) ^{2}}$ . Le numérateur a un discriminant $Δ = 4 - 12 < 0$ et un coefficient dominant positif, donc $x^{2} - 2 x + 3 > 0$ .

2) Ainsi $f^{'} (x) > 0$ pour tout $x \neq = 1$ : $f$ est strictement croissante sur $] - \infty, 1 [$ et sur $] 1, + \infty [$ . Avec $x \to 1^{-} lim f = + \infty$ , $x \to 1^{+} lim f = - \infty$ , $- \infty lim f = - \infty$ et $+ \infty lim f = + \infty$ .

🎯

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