Fiche de révision — 2ème Bac SM

BAC · Suites, limites, dérivées, intégrales, logarithme, exponentielle · lumaths.com

∑ Suites numériques (BAC) 📄 mémento →

Récurrence

$u_{n + 1}$ = f( $u_{n}$ ) → monotonie via signe de $u_{n + 1}$ − $u_{n}$

Suites adjacentes

( $u_{n}$ ) croissante + ( $v_{n}$ ) décroissante + $v_{n}$ − $u_{n}$ →0 → même limite

Convergence

Toute suite monotone et bornée converge

Pièges à éviter

✗ Suite convergente ≠ suite bornée (implication dans un seul sens)

lim Limites et continuité 📄 mémento →

Formes indéterminées

∞−∞ · 0×∞ · ∞/∞ · 0/0 · 1^∞

Levée FI polynômes

Diviser par le terme de plus haut degré

Levée FI avec √

Multiplier par l'expression conjuguée

TVI

f continue sur [a,b], f(a)×f(b)<0 → ∃c∈]a,b[ : f(c)=0

Limites usuelles

$lim e^{x} / x^{n} = + \infty \cdot lim ln (x) / x^{n} = 0 \cdot lim (1 + 1/ x)^{x} = e$

Pièges à éviter

✗ FI : il faut lever l'indétermination — écrire "FI" ne suffit pas
✗ TVI donne existence mais pas unicité (sans préciser f strictement monotone)

f' Dérivabilité 📄 mémento →

Dérivées usuelles

(xⁿ)' = nxⁿ⁻¹ · ( $x$ )' = 1/(2 $x$ ) · (ln x)' = 1/x · (eˣ)' = eˣ

Produit

(uv)' = u'v + uv'

Quotient

(u/v)' = (u'v − uv') / v²

Composée

(f∘g)' = g' × f'(g(x))

Ex : (

e^{x^{2}}

)' = 2x×

e^{x^{2}}

Tangente en x₀

y = f'(x₀)(x−x₀) + f(x₀)

Pièges à éviter

✗ (ln(u))' = u'/u (pas juste 1/u)
✗ Signe de f' → sens de variation, pas la valeur de f

ln / eˣ Fonctions logarithme et exponentielle 📄 mémento →

ln — Propriétés

ln(ab) = ln(a)+ln(b) · ln(a/b) = ln(a)−ln(b) · ln(aⁿ) = n×ln(a)

ln(e) = 1

ln(1) = 0 · ln(e) = 1 · $e^{l n (x)}$ = x (x>0)

Exponentielle

$e^{a} \times e^{b} = e^{a + b}$ · $\frac{e ^{a}}{e ^{b}} = e^{a - b}$ · $(e^{a})^{b} = e^{ab}$

Croissance comparée

$lim x^{n} e^{x} = + \infty \cdot lim e^{x} / x^{n} = + \infty \cdot lim x^{n} ln x = 0^{+}$

Pièges à éviter

✗ ln est défini UNIQUEMENT pour x > 0
✗ ln(a+b) ≠ ln(a) + ln(b) — erreur classique !

Astuce

Pour résoudre eˣ = k → x = ln(k) · Pour ln(x) = k → x = $e^k$

∫ Intégration 📄 mémento →

Primitives usuelles

 $\int x^{n} = x^{n + 1} / (n + 1) \cdot \int 1/ x = ln ∣ x ∣ \cdot \int e^{x} = e^{x} \cdot \int cos = sin \cdot \int sin = - cos$

Intégration par parties

$\int u v^{'} = [uv] - \int u^{'} v$

Ex :

\int x \cdot e^{x} d x = x \cdot e^{x} - \int e^{x} d x = (x - 1) e^{x} + C

Linéarité

$\int (a f + b g) = a \int f + b \int g$

Relation de Chasles

∫ $_{a}^{c}$ f = ∫ $_{a}^{b}$ f + ∫ $_{β}^{c}$ f

Inégalités

 $f \geq 0$  sur  $[a, b] \Rightarrow a \int b f \geq 0$  ;  $m \leq f \leq M \Rightarrow m (b - a) \leq \int f \leq M (b - a)$

Aire entre 2 courbes

Aire = ∫ $_{a}^{b}$ |f(x)−g(x)|dx

Pièges à éviter

✗ ∫ $_{a}^{b}$ f = F(b) − F(a) (pas F(a) − F(b))
✗ Ne pas oublier la constante C pour les primitives sans bornes

ℂ Nombres complexes 📄 mémento →

Forme algébrique

z = a + ib (a = Re(z), b = Im(z), i² = −1)

Module

|z| = $a^{2} + b^{2}$ | |z·z'| = |z|·|z'| | |z/z'| = |z|/|z'|

Conjugué

$\overline{z}$ = a − ib | z· $\overline{z}$ = |z|² | Re(z) = (z+ $\overline{z}$ )/2

Forme trigonométrique

z = r(cosθ + i·sinθ) où r = |z|, θ = arg(z)

Forme exponentielle

z = r· $e^{i θ}$ (formule d'Euler : $e^{i θ}$ = cosθ + i·sinθ)

Multiplication

r· $e^{i θ}$ × r'· $e^{i θ^{'}}$ = rr'· $e^{i (θ + θ^{'})}$ → modules ×, arguments +

Formule de Moivre

(cosθ + i·sinθ)ⁿ = cos(nθ) + i·sin(nθ)

Racines nièmes

zⁿ = a → n racines : $z_{k}$ = $r^{1/ n}$ · $e^{i (θ + 2 k π) / n}$ , k=0..n−1

Pièges à éviter

✗ arg(z·z') = arg(z) + arg(z') modulo 2π — ne pas oublier le modulo
✗ |z + z'| ≤ |z| + |z'| (inégalité triangulaire)
✗ Pour diviser : multiplier par le conjugué du dénominateur

Astuce

Points dans le plan : M(z) → affixe z = x + iy. Distance : |z₂ − z₁| = M₁M₂

🎲 Probabilités & Dénombrement 📄 mémento →

Arrangements

$A_{n}^{p}$ = n!/(n−p)!

Ex : A₅² = 5×4 = 20

Combinaisons

$C_{n}^{p}$ = n! / (p!(n−p)!)

Ex : C₅² = 10

Probabilité conditionnelle

P(A|B) = P(A∩B) / P(B)

Formule des prob. totales

P(A) = P(A|B)P(B) + P(A| $\overline{B}$ )P( $\overline{B}$ )

Théorème de Bayes

P(B|A) = P(A|B)·P(B) / P(A)

Loi binomiale

X∼B(n,p) : P(X=k) = $C_{n}^{k}$ · $p^{k}$ ·(1−p)ⁿ⁻ $^{k}$ | E(X)=np | V(X)=np(1−p)

Loi normale

X∼N(μ,σ²) : P(μ−σ≤X≤μ+σ) ≈ 0.68 | P(μ−2σ≤X≤μ+2σ) ≈ 0.95

Pièges à éviter

✗ P(A∩B) = P(A)×P(B) seulement si A et B sont INDÉPENDANTS
✗ $C_{n}^{p}$ = $C_{n}$ ⁿ⁻ $^{p}$ — utile pour simplifier les calculs
✗ Bayes : bien identifier quel événement est "cause" et lequel est "effet"

Astuce

Variable centrée réduite : Z = (X−μ)/σ → Z∼N(0,1). Lire table normale standard.

y' Équations différentielles 📄 mémento →

Ordre 1 — y' = ay

Solution générale : y = C· $e^{a}$ ˣ (C ∈ ℝ)

Ex : y'=2y → y=C

e^{2 x}

Ordre 1 — y' = ay + b

Chercher solution particulière $y_{p}$ =k (constante), puis y=C $e^{a x}$ +k

Ordre 1 — y' + py = q

Solution homogène : $y_{h}$ = C $e^{- p x}$ . Ajouter $y_{p}$ .

Ordre 2 — y''+ py' + qy = 0

Équation caractéristique : r²+pr+q=0. Selon Δ : 2 racines réelles, racine double, ou complexes.

Δ > 0 (r₁≠r₂ réels)

y = C₁ $e^{r_{1} x}$ + C₂ $e^{r_{2} x}$

Δ = 0 (racine double r₀)

y = (C₁ + C₂x) $e^{r_{0} x}$

Δ < 0 (r = α±iβ)

y = $e^{α x}$ (C₁cos(βx) + C₂sin(βx))

Pièges à éviter

✗ Ne pas confondre "résoudre" l'éq. diff et "vérifier" une solution
✗ Condition initiale y(x₀)=y₀ → déterminer la constante C
✗ Solution générale = solution homogène + solution particulière

Astuce

Toujours vérifier la solution en la réinjectant dans l'équation différentielle.

🔢 Arithmétique (Avancé) 📄 mémento →

Division euclidienne

a = bq + r avec 0 ≤ r < b | PGCD(a,b) = PGCD(b,r)

Algorithme d'Euclide

Divisions successives jusqu'à reste 0 → dernier reste non nul = PGCD

Ex : PGCD(48,18) : 48=18×2+12 · 18=12×1+6 · 12=6×2+0 → PGCD=6

Théorème de Bézout

PGCD(a,b)=d ⇔ ∃u,v∈ℤ : au+bv=d | PGCD(a,b)=1 ⇔ ∃u,v : au+bv=1

Théorème de Gauss

a|bc et PGCD(a,b)=1 ⇒ a|c

Congruences

a≡b[n] ⇔ n|(a−b) | Si a≡b[n] et c≡d[n] → a+c≡b+d[n] et ac≡bd[n]

Théorème de Fermat

p premier, PGCD(a,p)=1 ⇒ $a^{p}$ ⁻¹ ≡ 1[p] | Corollaire : $a^{p}$ ≡ a[p]

Système de congruences

CRT (Chinois) : si PGCD(n₁,n₂)=1 → système admet une solution unique mod n₁n₂

Pièges à éviter

✗ a≡0[n] ⇔ n|a (a est divisible par n)
✗ Fermat : valable si p premier ET a non divisible par p
✗ Bézout : les coefficients u,v ne sont pas uniques

Astuce

Méthode : résoudre au+bv=d → trouver solution particulière par Euclide → solution générale : u = u₀+(b/d)k, v = v₀−(a/d)k

⚙️ Structures algébriques 📄 mémento →

Groupe (G,★)

① Fermeture ② Associativité ③ Élément neutre e ④ Tout élément a un symétrique (inverse)

Groupe commutatif (abélien)

Groupe + ∀a,b : a★b = b★a

Anneau (A,+,×)

(A,+) groupe abélien + × associatif + × distributif sur + | Si × commutatif → anneau commutatif

Corps (K,+,×)

Anneau commutatif + tout élément non nul est inversible pour ×

Sous-groupe

H ≤ G ⇔ H≠∅ et ∀a,b∈H : a★b⁻¹∈H

Morphisme de groupes

f:(G,★)→(H,△) est un morphisme si f(a★b) = f(a)△f(b) ∀a,b∈G

Espace vectoriel

(E,+) groupe abélien + multiplication scalaire · vérifiant : λ(u+v)=λu+λv · (λ+μ)u=λu+μu · (λμ)u=λ(μu) · 1·u=u

Sous-espace vectoriel

F ⊂ E est un sev si : 0∈F · ∀u,v∈F, u+v∈F · ∀λ∈K, ∀u∈F, λu∈F

Famille libre/génératrice

Libre : Σ $λ_{i} v_{i}$ =0 ⇒  $λ_{i}$ =0. Génératrice : tout vecteur est combinaison linéaire. Base = libre + génératrice.

Pièges à éviter

✗ Vérifier la fermeture en premier (l'opération doit rester dans l'ensemble)
✗ L'élément neutre est UNIQUE dans un groupe
✗ Sous-espace vectoriel : toujours vérifier que $0$ ∈ F (sinon F n'est pas un sev)
✗ Corps : division par 0 interdite — vérifier que le dénominateur est non nul

Astuce

Méthode isomorphisme : montrer bijectif + morphisme. Isomorphisme ⇒ même structure algébrique.

🧊 Géométrie dans l'espace 📄 mémento →

Vecteurs dans ℝ³

$u^{\to}$ (x,y,z) · Norme : ‖ $u^{\to}$ ‖ = $x^{2} + y^{2} + z^{2}$

Produit scalaire

$u^{\to}$ · $v^{\to}$ = xx'+yy'+zz' | $u^{\to}$ ⊥ $v^{\to}$ ⇔ $u^{\to}$ · $v^{\to}$ = 0

Équation d'un plan

ax + by + cz + d = 0 → vecteur normal : $n^{\to}$ (a,b,c)

Distance point-plan

d(A, plan) = |ax₀+by₀+cz₀+d| / $a^{2} + b^{2} + c^{2}$

Équation d'une droite

(D) : (x−x₀)/a = (y−y₀)/b = (z−z₀)/c → vecteur directeur $u^{\to}$ (a,b,c)

Coplanéité

A, B, C, D coplanaires ⇔ det( $A B$ , $A C$ , $A D$ ) = 0

Sphère

(x−a)²+(y−b)²+(z−c)² = r² → centre Ω(a,b,c), rayon r

Pièges à éviter

✗ Vecteur normal au plan ≠ vecteur directeur de la droite
✗ Deux plans parallèles ⇔ leurs normales sont colinéaires
✗ Droite ⊂ plan ⇔ vecteur directeur ⊥ normale du plan ET un point de la droite appartient au plan

Astuce

Produit vectoriel $u^{\to}$∧$v^{\to}$ est perpendiculaire à $u^{\to}$ et $v^{\to}$ — utile pour trouver la normale à un plan.

△ Géométrie du triangle — Formules avancées 📄 mémento →

Loi des cosinus

a² = b² + c² − 2bc·cos(Â) (généralise Pythagore)

Ex : cos(Â)=(b²+c²−a²)/(2bc)

Formule de la médiane

$m_{a}$ ² = (2b²+2c²−a²)/4 où $m_{a}$ = longueur de la médiane issue de A

Hauteur

$h_{a}$ = (2·Aire) / a · $h_{a}$ = bc·sin(Â)/a

Aire — 3 formules

S = ½·base·hauteur = ½·bc·sin(Â) = abc/(4R) = p·r

Ex : p = (a+b+c)/2 = demi-périmètre

Formule de Héron

S = $p (p - a) (p - b) (p - c)$ avec p=(a+b+c)/2

Cercle circonscrit R

R = abc/(4S) = a/(2sin(Â)) (théorème des sinus : a/sin(Â) = 2R)

Cercle inscrit r

r = S/p (S = aire, p = demi-périmètre)

Quadrilatère cyclique

ABCD inscrit dans cercle ⇔ Â+Ĉ = 180° et B̂+D̂ = 180°

Angle inscrit/central

Angle au centre = 2 × angle inscrit qui intercepte le même arc → AOB = 2·AMB

Théorème de Thalès

Si (EF) ∥ (BC) : EA/EB = FA/FC = EF/BC

Pièges à éviter

✗ Loi des cosinus : bien identifier l'angle OPPOSÉ au côté cherché
✗ Formule de Héron : calculer d'abord p, puis chaque (p−côté)
✗ Angle inscrit = MOITIÉ de l'angle au centre (pas l'égal)
✗ Thalès : les rapports sont égaux en valeur absolue — attention aux signes si on travaille dans un repère

Astuce

Aire du triangle : S = ½bc·sin(Â). Rayon circonscrit : R = abc/(4S). Rayon inscrit : r = S/p. Théorème des sinus : a/sin(Â) = b/sin(B̂) = c/sin(Ĉ) = 2R

≤ Inégalités classiques (BAC & Olympiades) 📄 mémento →

Inégalité triangulaire

|a + b| ≤ |a| + |b| · ||a| − |b|| ≤ |a − b|

Ex : Outil clé pour les modules et complexes

AM-GM (2 réels)

(a + b)/2 ≥ $ab$ pour a,b ≥ 0 · égalité ⇔ a = b

AM-GM (n réels)

(a₁+a₂+…+ $a_{n}$ )/n ≥ (a₁·a₂·…· $a_{n}$ )^(1/n) pour $a_{i}$ ≥ 0

Moyenne quadratique

$(a^{2} + b^{2}) /2$ ≥ (a+b)/2 ≥ $ab$ ≥ 2/(1/a+1/b) (QM ≥ AM ≥ GM ≥ HM)

Cauchy-Schwarz (2 var.)

(ac + bd)² ≤ (a²+b²)(c²+d²) · égalité ⇔ a/c = b/d

Ex : Ou : (Σ

a_{i} b_{i}

)² ≤ (Σ

a_{i}

²)(Σ

b_{i}

²)

Cauchy-Schwarz (3 var.)

(a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃)² ≤ (a₁²+a₂²+a₃²)(b₁²+b₂²+b₃²)

Chebyshev

Si a₁≥a₂≥…≥ $a_{n}$  et b₁≥b₂≥…≥ $b_{n}$  : n·Σ $a_{i} b_{i}$  ≥ (Σ $a_{i}$ )(Σ $b_{i}$ )  ·  inégalité renversée si ordres opposés

Inégalité de Bernoulli

(1+x)ⁿ ≥ 1 + nx pour x ≥ −1 et n ∈ ℕ · égalité ⇔ x=0 ou n=1

Pièges à éviter

✗ AM-GM : valable UNIQUEMENT pour des réels positifs ou nuls
✗ Cauchy-Schwarz : l'égalité a lieu quand les vecteurs sont colinéaires (a/c = b/d)
✗ Chebyshev : l'inégalité s'INVERSE si les deux suites sont dans des ordres OPPOSÉS (l'une croissante et l'autre décroissante)
✗ |ab| = |a|·|b| mais |a+b| ≤ |a|+|b| (pas égalité en général)

Astuce

Technique olympiade : pour minimiser/maximiser une expression, identifier quelle inégalité donne l'égalité avec les conditions du problème (AM-GM si produit, Cauchy-Schwarz si somme de produits).

Fiche créée par Lumaths · Plateforme de maths pour les élèves marocains

Fiche de révision — 2ème Bac SM

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