📄 Mémento 2ème Bac SM

🔢 Arithmétique (Avancé)

Tout le chapitre sur une page : formules, méthode, pièges. À lire 5 min avant un contrôle.

📐Formules clés

Division euclidienne

a = bq + r avec 0 ≤ r < b | PGCD(a,b) = PGCD(b,r)

Algorithme d'Euclide

Divisions successives jusqu'à reste 0 → dernier reste non nul = PGCD

Ex : PGCD(48,18) : 48=18×2+12 · 18=12×1+6 · 12=6×2+0 → PGCD=6

Théorème de Bézout

PGCD(a,b)=d ⇔ ∃u,v∈ℤ : au+bv=d | PGCD(a,b)=1 ⇔ ∃u,v : au+bv=1

Théorème de Gauss

a|bc et PGCD(a,b)=1 ⇒ a|c

Congruences

a≡b[n] ⇔ n|(a−b) | Si a≡b[n] et c≡d[n] → a+c≡b+d[n] et ac≡bd[n]

Théorème de Fermat

p premier, PGCD(a,p)=1 ⇒ $a^{p}$ ⁻¹ ≡ 1[p] | Corollaire : $a^{p}$ ≡ a[p]

Système de congruences

CRT (Chinois) : si PGCD(n₁,n₂)=1 → système admet une solution unique mod n₁n₂

🪜La méthode-type

Traduire la divisibilité : $a ∣ b$ signifie $b = k a$ avec $k \in Z$ , et raisonner sur les congruences $a \equiv b [n]$ .
Pour les congruences, exploiter compatibilité avec somme et produit, et réduire les puissances en cherchant un cycle des restes modulo $n$ .
Calculer $pgcd (a, b)$ par l'algorithme d'Euclide, puis remonter pour obtenir une relation de Bézout $a u + b v = pgcd (a, b)$ .
Appliquer le théorème de Bézout ( $a$ et $b$ premiers entre eux $⟺ \exists u, v, a u + b v = 1$ ) et le théorème de Gauss (si $a ∣ b c$ et $a \land b = 1$ alors $a ∣ c$ ).
Pour les grandes puissances modulo un nombre premier $p$ , utiliser le petit théorème de Fermat : $a^{p - 1} \equiv 1 [p]$ si $p ∤ a$ .
Conclure (ensemble des solutions, divisibilité demandée, dernier chiffre) et vérifier sur un cas particulier.

⚠️Pièges à éviter

💡

À retenir

Méthode : résoudre au+bv=d → trouver solution particulière par Euclide → solution générale : u = u₀+(b/d)k, v = v₀−(a/d)k

✍️Exercice-type

1) Déterminer le reste de la division euclidienne de $2^{2026}$ par $7$ .

2) Montrer que pour tout entier $n$ , $7 ∣ 2^{3 n} - 1$ .

Voir le corrigé ▾

1) Les puissances de $2$ modulo $7$ : $2^{1} \equiv 2$ , $2^{2} \equiv 4$ , $2^{3} \equiv 1 [7]$ . Le cycle est de longueur $3$ .

On écrit $2026 = 3 \times 675 + 1$ , donc $2^{2026} = (2^{3})^{675} \times 2^{1} \equiv 1^{675} \times 2 \equiv 2 [7]$ .

Le reste est $2$ .

2) $2^{3 n} = (2^{3})^{n} = 8^{n} \equiv 1^{n} \equiv 1 [7]$ , donc $2^{3 n} - 1 \equiv 0 [7]$ , c'est-à-dire $7 ∣ 2^{3 n} - 1$ .

Autres mémentos — 2ème Bac SM