📄 Mémento 2ème Bac SM

🧊 Géométrie dans l'espace

Tout le chapitre sur une page : formules, méthode, pièges. À lire 5 min avant un contrôle.

📐Formules clés

Vecteurs dans ℝ³

$u^{\to}$ (x,y,z) · Norme : ‖ $u^{\to}$ ‖ = $x^{2} + y^{2} + z^{2}$

Produit scalaire

$u^{\to}$ · $v^{\to}$ = xx'+yy'+zz' | $u^{\to}$ ⊥ $v^{\to}$ ⇔ $u^{\to}$ · $v^{\to}$ = 0

Équation d'un plan

ax + by + cz + d = 0 → vecteur normal : $n^{\to}$ (a,b,c)

Distance point-plan

d(A, plan) = |ax₀+by₀+cz₀+d| / $a^{2} + b^{2} + c^{2}$

Équation d'une droite

(D) : (x−x₀)/a = (y−y₀)/b = (z−z₀)/c → vecteur directeur $u^{\to}$ (a,b,c)

Coplanéité

A, B, C, D coplanaires ⇔ det( $A B$ , $A C$ , $A D$ ) = 0

Sphère

(x−a)²+(y−b)²+(z−c)² = r² → centre Ω(a,b,c), rayon r

🪜La méthode-type

Choisir un repère orthonormé et exprimer les points par leurs coordonnées ; former les vecteurs utiles.
Produit scalaire : $u \cdot v = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$ pour angles, orthogonalité ( $u \cdot v = 0$ ).
Produit vectoriel $u \land v$ : vecteur normal à un plan et aire ( $\frac{1}{2} ∥ u \land v ∥$ ).
Équation du plan : prendre un normal $n (a, b, c)$ et un point $A$ , écrire $a (x - x_{A}) + b (y - y_{A}) + c (z - z_{A}) = 0$ .
Droite : représentation paramétrique $M = A + t u$ , $t \in R$ .
Distance point-plan : $d (M, P) = \frac{∣ a x _{M} + b y _{M} + c z _{M} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$ .

⚠️Pièges à éviter

Vecteur normal au plan ≠ vecteur directeur de la droite
Deux plans parallèles ⇔ leurs normales sont colinéaires
Droite ⊂ plan ⇔ vecteur directeur ⊥ normale du plan ET un point de la droite appartient au plan

💡

À retenir

Produit vectoriel $u^{\to}$∧$v^{\to}$ est perpendiculaire à $u^{\to}$ et $v^{\to}$ — utile pour trouver la normale à un plan.

✍️Exercice-type

Soit $A (1, 0, 2)$ , $B (2, 1, 0)$ , $C (0, 1, 1)$ . Déterminer une équation du plan $(A B C)$ puis la distance de $O$ à ce plan.

Voir le corrigé ▾

$A B (1, 1, - 2)$ , $A C (- 1, 1, - 1)$ .

Normal : $n = A B \land A C = (1 \cdot (- 1) - (- 2) \cdot 1, (- 2) \cdot (- 1) - 1 \cdot (- 1), 1 \cdot 1 - 1 \cdot (- 1)) = (1, 3, 2)$ .

Équation : $1 (x - 1) + 3 (y - 0) + 2 (z - 2) = 0 ⟺ x + 3 y + 2 z - 5 = 0$ .

Distance : $d (O, P) = \frac{∣ - 5 ∣}{1 ^{2} + 3 ^{2} + 2 ^{2}} = \frac{5}{14} = \frac{5 14}{14}$ .

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