📄 Mémento 2ème Bac SM

lim Limites et continuité

Tout le chapitre sur une page : formules, méthode, pièges. À lire 5 min avant un contrôle.

📐Formules clés

Formes indéterminées

∞−∞ · 0×∞ · ∞/∞ · 0/0 · 1^∞

Levée FI polynômes

Diviser par le terme de plus haut degré

Levée FI avec √

Multiplier par l'expression conjuguée

TVI

f continue sur [a,b], f(a)×f(b)<0 → ∃c∈]a,b[ : f(c)=0

Limites usuelles

$lim e^{x} / x^{n} = + \infty \cdot lim ln (x) / x^{n} = 0 \cdot lim (1 + 1/ x)^{x} = e$

🪜La méthode-type

Reconnaître la forme indéterminée ( $\frac{0}{0}$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $\infty - \infty$ , $0 \times \infty$ ) au point ou en l'infini étudié.
Lever l'indétermination : factorisation par le terme dominant, conjugué pour les racines, ou taux d'accroissement pour $\frac{0}{0}$ .
Utiliser les limites de référence et la composition des limites pour conclure.
Pour une équation $f (x) = k$ : appliquer le TVI à $f$ continue sur $[a, b]$ avec $f (a)$ et $f (b)$ de part et d'autre de $k$ .
Pour un prolongement par continuité en $a$ : vérifier que $x \to a lim f (x) = ℓ$ existe (finie) et poser $f (a) = ℓ$ .

⚠️Pièges à éviter

FI : il faut lever l'indétermination — écrire "FI" ne suffit pas
TVI donne existence mais pas unicité (sans préciser f strictement monotone)

✍️Exercice-type

1) Calculer

x \to + \infty lim (x^{2} + x - x)

.
2) Montrer que l'équation

x^{3} + x - 1 = 0

admet une unique solution dans

] 0, 1 [

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1) Forme $\infty - \infty$ . On multiplie par le conjugué : $x^{2} + x - x = \frac{x}{x ^{2} + x + x} = \frac{1}{1 + \frac{1}{x} + 1} \to \frac{1}{2}$ quand $x \to + \infty$ .

2) Soit $f (x) = x^{3} + x - 1$ , continue sur $[0, 1]$ . $f (0) = - 1 < 0$ et $f (1) = 1 > 0$ : par le TVI il existe une solution dans $] 0, 1 [$ . De plus $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 1 > 0$ , donc $f$ est strictement croissante : la solution est unique.

🎯

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