📄 Mémento 2ème Bac SM

△ Géométrie du triangle — Formules avancées

Tout le chapitre sur une page : formules, méthode, pièges. À lire 5 min avant un contrôle.

📐Formules clés

Loi des cosinus

a² = b² + c² − 2bc·cos(Â) (généralise Pythagore)

Ex : cos(Â)=(b²+c²−a²)/(2bc)

Formule de la médiane

$m_{a}$ ² = (2b²+2c²−a²)/4 où $m_{a}$ = longueur de la médiane issue de A

Hauteur

$h_{a}$ = (2·Aire) / a · $h_{a}$ = bc·sin(Â)/a

Aire — 3 formules

S = ½·base·hauteur = ½·bc·sin(Â) = abc/(4R) = p·r

Ex : p = (a+b+c)/2 = demi-périmètre

Formule de Héron

S = $p (p - a) (p - b) (p - c)$ avec p=(a+b+c)/2

Cercle circonscrit R

R = abc/(4S) = a/(2sin(Â)) (théorème des sinus : a/sin(Â) = 2R)

Cercle inscrit r

r = S/p (S = aire, p = demi-périmètre)

Quadrilatère cyclique

ABCD inscrit dans cercle ⇔ Â+Ĉ = 180° et B̂+D̂ = 180°

Angle inscrit/central

Angle au centre = 2 × angle inscrit qui intercepte le même arc → AOB = 2·AMB

Théorème de Thalès

Si (EF) ∥ (BC) : EA/EB = FA/FC = EF/BC

🪜La méthode-type

Noter les côtés $a, b, c$ opposés aux angles $A, B, C$ ; repérer les données et l'inconnue.
Un angle entre deux côtés connus : Al-Kashi $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ .
Un côté/angle manquant avec un couple côté-angle connu : loi des sinus $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R$ .
Aire : $S = \frac{1}{2} b c sin A$ , ou Héron $S = p (p - a) (p - b) (p - c)$ avec $p = \frac{a + b + c}{2}$ .
Droites remarquables : médianes en $G$ (centre de gravité, $\frac{2}{3}$ ), médiatrices en $O$ (circonscrit), bissectrices en $I$ (inscrit), hauteurs en $H$ (orthocentre).
Conclure en vérifiant la cohérence (angles de somme $π$ , valeurs positives).

⚠️Pièges à éviter

Loi des cosinus : bien identifier l'angle OPPOSÉ au côté cherché
Formule de Héron : calculer d'abord p, puis chaque (p−côté)
Angle inscrit = MOITIÉ de l'angle au centre (pas l'égal)
Thalès : les rapports sont égaux en valeur absolue — attention aux signes si on travaille dans un repère

💡

À retenir

Aire du triangle : S = ½bc·sin(Â). Rayon circonscrit : R = abc/(4S). Rayon inscrit : r = S/p. Théorème des sinus : a/sin(Â) = b/sin(B̂) = c/sin(Ĉ) = 2R

✍️Exercice-type

Dans un triangle $A B C$ , $b = 7$ , $c = 5$ et $A = 6 0^{\circ}$ . Calculer le côté $a$ puis l'aire.

Voir le corrigé ▾

Al-Kashi : $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A = 49 + 25 - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot cos 6 0^{\circ} = 74 - 70 \cdot \frac{1}{2} = 74 - 35 = 39$ .

Donc $a = 39$ .

Aire : $S = \frac{1}{2} b c sin A = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 5 \cdot sin 6 0^{\circ} = \frac{35}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{35 3}{4}$ .

🎯

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