📄 Mémento 2ème Bac SM

🎲 Probabilités & Dénombrement

Tout le chapitre sur une page : formules, méthode, pièges. À lire 5 min avant un contrôle.

📐Formules clés

Arrangements

$A_{n}^{p}$ = n!/(n−p)!

Ex : A₅² = 5×4 = 20

Combinaisons

$C_{n}^{p}$ = n! / (p!(n−p)!)

Ex : C₅² = 10

Probabilité conditionnelle

P(A|B) = P(A∩B) / P(B)

Formule des prob. totales

P(A) = P(A|B)P(B) + P(A| $\overline{B}$ )P( $\overline{B}$ )

Théorème de Bayes

P(B|A) = P(A|B)·P(B) / P(A)

Loi binomiale

X∼B(n,p) : P(X=k) = $C_{n}^{k}$ · $p^{k}$ ·(1−p)ⁿ⁻ $^{k}$ | E(X)=np | V(X)=np(1−p)

Loi normale

X∼N(μ,σ²) : P(μ−σ≤X≤μ+σ) ≈ 0.68 | P(μ−2σ≤X≤μ+2σ) ≈ 0.95

🪜La méthode-type

Modéliser l'expérience : préciser l'univers, repérer s'il y a ordre/répétition pour choisir arrangement $A_{n}^{p}$ , permutation $n!$ ou combinaison $(p n)$ .
Construire un arbre pondéré si l'épreuve est à plusieurs étapes, en plaçant les probabilités conditionnelles sur les branches.
Appliquer la probabilité conditionnelle $P_{B} (A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$ et tester l'indépendance via $P (A \cap B) = P (A) P (B)$ .
Utiliser la formule des probabilités totales : $P (A) = i \sum P (B_{i}) P_{B_{i}} (A)$ sur un système complet d'événements.
Reconnaître une loi binomiale $B (n, p)$ : épreuves identiques, indépendantes, deux issues, et écrire $P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ .
Calculer espérance $E (X) = n p$ et variance $V (X) = n p (1 - p)$ , puis conclure dans le contexte.

⚠️Pièges à éviter

P(A∩B) = P(A)×P(B) seulement si A et B sont INDÉPENDANTS
$C_{n}^{p}$ = $C_{n}$ ⁿ⁻ $^{p}$ — utile pour simplifier les calculs
Bayes : bien identifier quel événement est "cause" et lequel est "effet"

💡

À retenir

Variable centrée réduite : Z = (X−μ)/σ → Z∼N(0,1). Lire table normale standard.

✍️Exercice-type

Une urne contient $4$ boules rouges et $6$ boules vertes. On tire successivement et avec remise $5$ boules.

Soit $X$ le nombre de boules rouges obtenues.

1) Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.

2) Calculer $P (X = 2)$ et $E (X)$ .

Voir le corrigé ▾

1) Les $5$ tirages sont identiques, indépendants (remise) et chacun a deux issues : rouge avec probabilité $p = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ , ou non. Donc $X \sim B (5, \frac{2}{5})$ .

2) $P (X = 2) = (2 5) (\frac{2}{5})^{2} (\frac{3}{5})^{3} = 10 \times \frac{4}{25} \times \frac{27}{125} = \frac{1080}{3125} = \frac{216}{625} \approx 0, 346$ .

$E (X) = n p = 5 \times \frac{2}{5} = 2$ .

🎯

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Des exercices corrigés sur ce chapitre t'attendent

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