Bac spécialité Maths — Centres étrangers, 13 juin 2025 (Jour 2)

Exercice 1 (6 points)

On se propose de comparer l'évolution d'une population animale dans deux milieux distincts A et B.

Au 1^er janvier 2025, on introduit $6000$ individus dans chacun des milieux A et B.

Partie A

Dans cette partie, on étudie l'évolution de la population dans le milieu A.

On suppose que dans ce milieu, l'évolution de la population est modélisée par une suite géométrique $(u_n)$ de premier terme $u_0=6$ et de raison $0,93$.

Pour tout entier naturel $n$, $u_n$ représente la population au 1^er janvier de l'année $2025+n$, exprimée en millier d'individus.

1. Donner, selon ce modèle, la population au 1^er janvier 2026.
2. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
3. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie B

Dans cette partie, on étudie l'évolution de la population dans le milieu B.

On suppose que dans ce milieu, l'évolution de la population est modélisée par la suite $(v_n)$ définie par

$v_0=6$ et pour tout entier naturel $n,v_{n+1}=-0,05v_n^2+1,1v_n.$

Pour tout entier naturel $n$, $v_n$ représente la population au 1^er janvier de l'année $2025+n$, exprimée en millier d'individus.

1. Donner, selon ce modèle, la population au 1^er janvier 2026.

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0;+\infty [$ par $f(x)=-0,05x^2+1,1x.$

2. Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[0;11]$.
3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a $2⩽v_{n+1}⩽v_n⩽6.$
4. En déduire que la suite $(v_n)$ est convergente vers une limite $\ell$.
5. a. Justifier que la limite $\ell$ vérifie $f(\ell )=\ell$ puis en déduire la valeur de $\ell$.
   b. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie C

Cette partie a pour but de comparer l'évolution de la population dans les deux milieux.

1. En résolvant une inéquation, déterminer l'année à partir de laquelle la population du milieu A sera strictement inférieure à $3000$ individus.
2. À l'aide de la calculatrice, déterminer l'année à partir de laquelle la population du milieu B sera strictement inférieure à $3000$ individus.
3. Justifier qu'à partir d'une certaine année, la population du milieu B dépassera la population du milieu A.
4. On considère le programme Python ci-contre.
   a. Recopier et compléter ce programme afin qu'après exécution, il affiche l'année à partir de laquelle la population du milieu B est strictement supérieure à la population du milieu A.
   b. Déterminer l'année affichée après exécution du programme.

n = 0
u = 6
v = 6
while ... :
    u = ...
    v = ...
    n = n + 1
print(2025 + n)

Exercice 2 (6 points)

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0;+\infty [$ par :

$f(x)=\frac{1}{a+{\mathrm{e}}^{-bx}}$

où $a$ et $b$ sont deux constantes réelles strictement positives.

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0;+\infty [$.

La fonction $f$ admet pour représentation graphique la courbe ${\mathcal{C}}_f$ ci-dessous :

[Figure : courbe ${\mathcal{C}}_f$ croissante de l'allure d'une sigmoïde, passant par $A(0;0,5)$ et $B(10;1)$, admettant l'asymptote horizontale d'équation $y=1$. La droite $(AB)$, tracée en rouge, est tangente à la courbe au point $A$.]

On considère les points $A(0;0,5)$ et $B(10;1)$.

On admet que la droite $(AB)$ est tangente à la courbe ${\mathcal{C}}_f$ au point $A$.

1. Par lecture graphique, donner une valeur approchée de $f(10)$.
2. On admet que $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=1$. Donner une interprétation graphique de ce résultat.
3. Justifier que $a=1$.
4. Déterminer le coefficient directeur de la droite $(AB)$.
5. a. Déterminer l'expression de $f^{\prime }(x)$ en fonction de $x$ et de la constante $b$.
   b. En déduire la valeur de $b$.

Partie B

On admet, dans la suite de l'exercice, que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[0;+\infty [$ par :

$f(x)=\frac{1}{1+{\mathrm{e}}^{-0,2x}}$

1. Déterminer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$.
2. Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0;+\infty [$.
3. Montrer qu'il existe un unique réel $\alpha$ positif tel que $f(\alpha )=0,97$.
4. À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement du réel $\alpha$ par deux nombres entiers consécutifs. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.

Partie C

1. Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[0;+\infty [,f(x)=\frac{{\mathrm{e}}^{0,2x}}{1+{\mathrm{e}}^{0,2x}}.$
2. En déduire une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0;+\infty [$.
3. Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0;40]$, c'est-à-dire : $I=\frac{1}{40}\underset{0}{\overset{40}{\int }}\frac{1}{1+{\mathrm{e}}^{-0,2x}}\mathrm{d}x.$
   On donnera la valeur exacte et une valeur approchée au millième.

Exercice 3 (4 points)

Le codage « base64 », utilisé en informatique, permet de représenter et de transmettre des messages et d'autres données telles que des images, en utilisant 64 caractères : les 26 lettres majuscules, les 26 lettres minuscules, les chiffres de 0 à 9 et deux autres caractères spéciaux.

Les parties A, B et C sont indépendantes.

Partie A

Dans cette partie, on s'intéresse aux séquences de 4 caractères en base64. Par exemple, « gP3g » est une telle séquence. Dans une séquence, l'ordre est à prendre en compte : les séquences « m5C2 » et « 5C2m » ne sont pas identiques.

1. Déterminer le nombre de séquences possibles.
2. Déterminer le nombre de séquences si l'on impose que les 4 caractères sont différents deux à deux.
3. a. Déterminer le nombre de séquences ne comportant pas de lettre A majuscule.
   b. En déduire le nombre de séquences comportant au moins une lettre A majuscule.
   c. Déterminer le nombre de séquences comportant exactement une fois la lettre A majuscule.
   d. Déterminer le nombre de séquences comportant exactement deux fois la lettre A majuscule.

Partie B

On s'intéresse à la transmission d'une séquence de 250 caractères d'un ordinateur à un autre. On suppose que la probabilité qu'un caractère soit mal transmis est égale à $0,01$ et que les transmissions des différents caractères sont indépendantes entre elles. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de caractères mal transmis.

1. On admet que la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale. Donner ses paramètres.
2. Déterminer la probabilité que tous les caractères soient bien transmis. On donnera l'expression exacte, puis une valeur approchée à $10^{-3}$ près.
3. Que pensez-vous de l'affirmation suivante : « La probabilité que plus de 16 caractères soient mal transmis est négligeable » ?

Partie C

On s'intéresse maintenant à la transmission de 4 séquences de 250 caractères.

On note $X_1,X_2,X_3$ et $X_4$ les variables aléatoires correspondant aux nombres de caractères mal transmis lors de la transmission de chacune des 4 séquences.

On admet que les variables aléatoires $X_1,X_2,X_3$ et $X_4$ sont indépendantes entre elles et suivent la même loi que la variable aléatoire $X$ définie en partie B.

On note $S=X_1+X_2+X_3+X_4$.

Déterminer, en justifiant, l'espérance et la variance de la variable aléatoire $S$.

Exercice 4 (4 points)

On se place dans un repère orthonormé $\left(O;\vec{ı},\vec{ȷ},\vec{k}\right)$ de l'espace.

On considère les points $A(1;0;3)$, $B(-2;1;2)$ et $C(0;3;2)$.

1. a. Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
   b. Soit $\vec{n}$ le vecteur de coordonnées $\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 4\end{array}\right)$. Vérifier que le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal au plan $(ABC)$.
   c. En déduire que le plan $(ABC)$ admet pour équation cartésienne $-x+y+4z-11=0.$

On considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $3x-3y+2z-9=0$ et le plan ${\mathcal{P}}^{\prime }$ d'équation cartésienne $x-y-z+2=0$.

2. a. Démontrer que les plans $\mathcal{P}$ et ${\mathcal{P}}^{\prime }$ sont sécants. On note $(d)$ leur droite d'intersection.
   b. Déterminer si les plans $\mathcal{P}$ et ${\mathcal{P}}^{\prime }$ sont perpendiculaires.
3. Montrer que la droite $(d)$ est dirigée par le vecteur $\vec{u}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.
4. Montrer que le point $M(2;1;3)$ appartient aux plans $\mathcal{P}$ et ${\mathcal{P}}^{\prime }$. En déduire une représentation paramétrique de la droite $(d)$.
5. Montrer que la droite $(d)$ est aussi incluse dans le plan $(ABC)$. Que peut-on dire des trois plans $(ABC)$, $\mathcal{P}$ et ${\mathcal{P}}^{\prime }$ ?