Bac spécialité Maths — Amérique du Nord, 22 mai 2025 (Jour 2)

Exercice 1 (5 points)

Au basket-ball, il est possible de marquer des paniers rapportant un point, deux points ou trois points. On s'intéresse uniquement aux tirs à trois points de Victor, un joueur amateur. On admet que chaque tir à trois points de Victor est réussi avec une probabilité de $0,32$, indépendamment des autres tirs.

Partie A

Au cours d'un entraînement, Victor effectue $15$ tirs à trois points. On note $N$ la variable aléatoire égale au nombre de paniers à trois points réussis par Victor au cours de cet entraînement.

1. Préciser la loi suivie par $N$ et ses paramètres.
2. Calculer la probabilité que Victor réussisse exactement $4$ paniers à trois points. On donnera la valeur arrondie au millième.
3. Calculer la probabilité que Victor réussisse au plus $6$ paniers à trois points. On donnera la valeur arrondie au millième.
4. Calculer l'espérance $E(N)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
5. Soit $T$ la variable aléatoire égale au nombre de points marqués par Victor grâce aux tirs à trois points au cours d'un entraînement de $15$ tirs.
   1. Exprimer $T$ en fonction de $N$.
   2. Calculer l'espérance $E(T)$.
   3. Calculer la probabilité $P(12⩽T⩽18)$. On donnera la valeur arrondie au millième.

Partie B

On s'intéresse au nombre total de points marqués par Victor lors d'un match de basket-ball (paniers à $1$, $2$ et $3$ points). On admet que le nombre de points marqués par Victor lors d'un match peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ d'espérance $E(X)=22$ et de variance $V(X)=65$.

On note $M_{50}$ la variable aléatoire égale à la moyenne empirique du nombre de points marqués sur $50$ matchs indépendants.

1. 1. Calculer $E(M_{50})$ et $V(M_{50})$.
   2. En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que $P\left(|M_{50}-22|⩾3\right)⩽\frac{13}{90}$.
   3. En déduire que $P(19<M_{50}<25)>0,85$.
2. Un commentateur sportif affirme que, si l'on étudie un échantillon de $500$ matchs de Victor, la probabilité que la moyenne empirique du nombre de points soit à moins de $3$ points de $22$ est supérieure à $0,99$. Déterminer si cette affirmation est vraie ou fausse en précisant la plus petite valeur de $n$ pour laquelle $P\left(|M_n-22|⩾3\right)<0,01$.

Exercice 2 (5 points)

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et, pour tout entier naturel $n$, par $u_{n+1}=\sqrt{u_n}$.

Partie A

1. Calculer $u_1$ et $u_2$, en laissant les résultats sous forme de puissances de $2$.
2. Émettre une conjecture sur le sens de variation et la limite de la suite $(u_n)$.
3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $1⩽u_{n+1}⩽u_n$.
4. Déterminer les solutions de l'équation $\sqrt{x}=x$ pour $x⩾0$.
5. En déduire la limite de la suite $(u_n)$.

Partie B

Le mathématicien Henry Briggs (1561–1630) a proposé une méthode pour approcher la valeur du logarithme de $2$ en utilisant cette suite. On définit la suite $(v_n)$ pour tout entier naturel $n$ par $v_n=\ln (u_n)$.

1. Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\frac{1}{2}$ et préciser son premier terme.
2. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $\ln (2)=2^n\times \ln (u_n)$.
3. On cherche le plus petit entier $k$ tel que $u_k\in \left]0,99;1,01\right[$.
   1. Montrer que $u_7\approx 1,00543$.
   2. En déduire une valeur approchée de $\ln (2)$ au millième.
   3. Déterminer la valeur du plus petit entier $k$ cherché.
4. On considère l'algorithme Python suivant, dans lequel la variable a est initialisée à la valeur de $u_n$ pour un entier $n$ donné :

   import math
   def briggs(a, n):
       L = ...
       return L

   Compléter la ligne manquante pour que la fonction renvoie une valeur approchée de $\ln (2)$ calculée par la méthode de Briggs.

Exercice 3 (5 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

On considère un cube $ABCDEFGH$ de côté $1$, où $ABCD$ est la face inférieure et $EFGH$ la face supérieure, avec $E$ au-dessus de $A$, $F$ au-dessus de $B$, $G$ au-dessus de $C$ et $H$ au-dessus de $D$. On note $I$ le milieu de $[EG]$, $J$ le milieu de $[AC]$, $L$ le milieu de $[AB]$ et $M$ le milieu de $[CD]$.

On se place dans le repère $\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)$.

Affirmation 1

$\overrightarrow{JH}=2\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{DM}-\overrightarrow{CB}$

Affirmation 2

La famille de vecteurs $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AH},\overrightarrow{AG}\right)$ est une base de l'espace.

Affirmation 3

$\overrightarrow{IB}\cdot \overrightarrow{LM}=-\frac{1}{4}$

On considère le plan $\mathcal{P}$ passant par les points $F(1;0;1)$, $G(1;1;1)$ et $D(0;1;0)$, et la droite $(d)$ de représentation paramétrique :

$$\{\begin{array}{l}x=1+t\\ \\ y=2+t\\ \\ z=-t\end{array}t\in \mathbb{R}$$

Affirmation 4

Le plan $\mathcal{P}$ et la droite $(AB)$ sont parallèles.

Affirmation 5

Le plan ${\mathcal{P}}^{\prime }$ passant par $E(0;0;1)$ et parallèle au plan $\mathcal{P}$ a pour équation $-2x+y-3z+34=0$.

Affirmation 6

La distance du point $A(0;0;0)$ au plan $\mathcal{P}$ est égale à $\frac{\sqrt{14}}{2}$.

Affirmation 7

Les droites $(AB)$ et $(d)$ ne sont pas coplanaires.

Exercice 4 (5 points)

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)={\mathrm{e}}^x\sin (x)$.

Partie A

1. Calculer $f^{\prime }(x)$ pour tout réel $x$.
2. Montrer que $f$ est strictement croissante sur $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$.
3. Déterminer l'équation de la tangente $T$ à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $0$.
4. Montrer que $f$ est convexe sur $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$.
5. En déduire que, pour tout $x\in \left[0;\frac{\pi }{2}\right]$, ${\mathrm{e}}^x\sin (x)⩾x$.
6. Déterminer les coordonnées du point d'inflexion de la courbe représentative de $f$ sur $\left[0;\pi \right]$.

Partie B

On pose $I=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{\mathrm{e}}^x\sin (x)\mathrm{d}x$ et $J=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{\mathrm{e}}^x\cos (x)\mathrm{d}x$.

1. En effectuant une intégration par parties, montrer que $I=1+J$ et que $J={\mathrm{e}}^{\pi /2}-I$. On admet que $\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)=0$ et $\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)=1$.
2. En déduire la valeur exacte de $I$.
3. Calculer, en unités d'aire, l'aire du domaine délimité par la courbe représentative de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=0$ et $x=\frac{\pi }{2}$, en tenant compte de la borne obtenue à la question A.5 pour justifier le signe de $f$ sur cet intervalle. L'aire sera exprimée en fonction de $I$ et de $\pi$.