Bac spécialité Maths — Polynésie, 14 mars 2023 (Jour 2)

Exercice 1 (5 points)

Thème : probabilités, suites

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Partie A

Chaque jour, un athlète doit sauter une haie en fin d'entraînement. Son entraîneur estime, au vu de la saison précédente que

• si l'athlète franchit la haie un jour, alors il la franchira dans $90\%$ des cas le jour suivant ;
• si l'athlète ne franchit pas la haie un jour, alors dans $70\%$ des cas il ne la franchira pas non plus le lendemain.

On note pour tout entier naturel $n$ :

• $R_n$ l'évènement : « L'athlète réussit à franchir la haie lors de la $n$-ième séance »,
• $p_n$ la probabilité de l'évènement $R_n$. On considère que $p_0=0,6$.

1. Soit $n$ un entier naturel, recopier l'arbre pondéré ci-dessous et compléter les pointillés.

   [Figure : arbre pondéré à deux niveaux. Du sommet partent deux branches : $R_n$ avec probabilité $p_n$ et $\overline{R_n}$ avec probabilité $1-p_n$. Depuis $R_n$ partent deux branches (pointillés) vers $R_{n+1}$ et $\overline{R_{n+1}}$. Depuis $\overline{R_n}$ partent deux branches (pointillés) vers $R_{n+1}$ et $\overline{R_{n+1}}$.]

2. Justifier en vous aidant de l'arbre que, pour tout entier naturel $n$, on a : $$p_{n+1}=0,6p_n+0,3.$$
3. On considère la suite $(u_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $u_n=p_n-0,75$.
   1. Démontrer que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
   2. Démontrer que, pour tout entier $n$ naturel : $$p_n=0,75-0,15\times 0,6^n.$$
   3. En déduire que la suite $\left(p_n\right)$ est convergente et déterminer sa limite $\ell$.
   4. Interpréter la valeur de $\ell$ dans le cadre de l'exercice.

Partie B

Après de nombreuses séances d'entraînement, l'entraineur estime maintenant que l'athlète franchit chaque haie avec une probabilité de $0,75$ et ce indépendamment d'avoir franchi ou non les haies précédentes.

On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de haies franchies par l'athlète à l'issue d'un $400$ mètres haies qui comporte $10$ haies,

1. Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.
2. Déterminer, à $10^{-3}$ près, la probabilité que l'athlète franchisse les $10$ haies.
3. Calculer $p(X⩾9)$, à $10^{-3}$ près,

Exercice 2 (5 points)

Thème : géométrie dans l'espace

L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$.

On considère :

• le point $A(1;-1;-1)$ ;
• le plan ${\mathcal{P}}_1$, d'équation : $5x+2y+4z=17$ ;
• le plan ${\mathcal{P}}_2$ d'équation : $10x+14y+3z=19$ ;
• la droite $\mathcal{D}$ de représentation paramétrique : $$\{\begin{array}{rcl}x& =& 1+2t\\ y& =& -t\\ z& =& 3-2t\end{array}\text{ouˋ }t\text{ deˊcrit }\mathbb{R}.$$

1. Justifier que les plans ${\mathcal{P}}_1$ et ${\mathcal{P}}_2$ ne sont pas parallèles.
2. Démontrer que $\mathcal{D}$ est la droite d'intersection de ${\mathcal{P}}_1$ et ${\mathcal{P}}_2$.
3. 1. Vérifier que $A$ n'appartient pas à ${\mathcal{P}}_1$.
   2. Justifier que $A$ n'appartient pas à $\mathcal{D}$.
4. Pour tout réel $t$, on note $M$ le point de $\mathcal{D}$ de coordonnées $(1+2t;-t;3-2t)$.

   On considère alors la fonction $f$ qui à tout réel $t$ associe $A{M}^2$, soit $f(t)=A{M}^2$.

   1. Démontrer que pour tout réel $t$, on a : $f(t)=9t^2-18t+17$.
   2. Démontrer que la distance $AM$ est minimale lorsque $M$ a pour coordonnées $(3;-1;1)$.
5. On note $H$ le point de coordonnées $(3;-1;1)$.

   Démontrer que la droite $(AH)$ est perpendiculaire à $\mathcal{D}$.

Exercice 3 (5 points)

Thème : étude de fonctions

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Partie A

Le plan est ramené à un repère orthogonal.

On a représenté ci-dessous la courbe d'une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$, ainsi que celle de sa dérivée $f^{\prime }$ et de sa dérivée seconde $f^{\prime \prime }$.

[Figure : trois courbes dans un repère orthogonal, $x$ variant de $0$ à $7$ et $y$ de $-3$ à $4$. La courbe ${\mathcal{C}}_2$ (rouge) est croissante en forme de S, partant de $0$ et tendant vers la valeur $4$, avec sa plus forte pente vers $x=4$. La courbe ${\mathcal{C}}_3$ (bleue) est une courbe en cloche, positive, présentant un maximum d'environ $3$ vers $x=4$. La courbe ${\mathcal{C}}_1$ (noire) présente un maximum d'environ $3,5$ vers $x=3,5$, s'annule vers $x=4$, puis un minimum d'environ $-3,5$ vers $x=4,5$.]

1. Déterminer, en justifiant votre choix, quelle courbe correspond à quelle fonction.
2. Déterminer, avec la précision permise par le graphique, le coefficient directeur de la tangente à la courbe ${\mathcal{C}}_2$ au point d'abscisse $4$.
3. Donner avec la précision permise par le graphique, l'abscisse de chaque point d'inflexion de la courbe ${\mathcal{C}}_1$.

Partie B

Soit un réel $k$ strictement positif.

On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $$g(x)=\frac{4}{1+{\mathrm{e}}^{-kx}}.$$

1. Déterminer les limites de $g$ en $+\infty$ et en $-\infty$,
2. Prouver que $g^{\prime }(0)=k$.
3. En admettant le résultat ci-dessous obtenu avec un logiciel de calcul formel, prouver que la courbe de $g$ admet un point d'inflexion au point d'abscisse $0$.

   [Calcul formel]

   > Calcul formel
   g(x) = 4/(1 + e^(-kx))
   1
     -> g(x) = 4 / (e^(-kx) + 1)
   Simplifier(g''(x))
   2
     -> g''(x) = -4 e^(kx) (e^(kx) - 1) k^2 / (e^(kx) + 1)^3

Exercice 4 (5 points)

Thème : suites, fonction logarithme, algorithmique

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point :

1. Affirmation : La suite $u$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=\frac{(-1{)}^n}{n+1}$ est bornée.
2. Affirmation : Toute suite bornée est convergente.
3. Affirmation : Toute suite croissante tend vers $+\infty$.
4. Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\ln \left(x^2+2x+2\right)$.

   Affirmation : La fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $[-3;1]$.

5. On considère la fonction mystere définie ci-dessous qui prend une liste L de nombres en paramètre.

   On rappelle que len(L) renvoie la longueur, c'est-à-dire le nombre d'éléments de la liste L.

   def mystere(L) :
       M = L[0]
       # On initialise M avec le premier élément de la liste L
       for i in range(len(L)) :
           if L[i] > M :
               M = L[i]
       return M

   Affirmation : L'exécution de mystere([2, 3, 7, 0, 6, 3, 2, 0, 5]) renvoie 7.