Exercice 1 — Étude d'une fonction (7 points)

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=(2x-1)e^{-x}+1$. On note ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative.

Partie A — Étude de la fonction

1. Calculer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$. Interpréter géométriquement.

2. Montrer que $f^{\prime }(x)=(3-2x)e^{-x}$.

3. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variations complet.

4. Montrer que $f(x)=0$ admet exactement une solution réelle lpha, et vérifier que lpha \in [-1\,;\,0].

5. Calculer $f^{\prime \prime }(x)$ et déterminer le(s) point(s) d'inflexion de ${\mathcal{C}}_f$.

Partie B — Tangente et asymptote

6. Déterminer l'équation de la tangente à ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $x=\frac{3}{2}$.

7. Montrer que $y=1$ est une asymptote horizontale en $+\infty$. Étudier la position de ${\mathcal{C}}_f$ par rapport à cette droite.

Exercice 2 — Nombres complexes (7 points)

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct (O,\,ec{u},\,ec{v}), on considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives : $z_A=1+i\sqrt{3}$, $z_B=-2$, $z_C=-1+i\sqrt{3}$.

Partie A

1. Écrire $z_A$ et $z_B$ sous forme exponentielle.

2. Calculer le module et l'argument de $z_C-z_A$. En déduire la nature du triangle $ABC$.

3. On considère $T(z)=\omega z$, où $\omega =e^{i\pi /3}$. Déterminer l'image $A^{\prime }$ de $A$ par $T$.

Partie B — Équation dans $\mathbb{C}$

4. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^2-2z+4=0$. Vérifier que les solutions sont $z_A$ et $\overline{z_A}$.

5. Factoriser $P(z)=z^3+8$ dans $\mathbb{C}$. En déduire toutes les solutions de $P(z)=0$.

6. Placer les images des trois racines dans le plan complexe. Quelle est la nature du triangle formé ?

Exercice 3 — Probabilités (7 points)

Une entreprise fabrique des composants électroniques. Chaque composant est défectueux avec une probabilité de $0,04$, indépendamment des autres.

Partie A — Loi binomiale

1. On prélève $n=25$ composants. $X$ = nombre de défectueux.

a. Justifier que $X\sim \mathcal{B}(25;0,04)$.

b. Calculer $P(X=0)$ et $P(X=1)$.

c. Calculer $E(X)$ et $\sigma (X)$. Interpréter.

2. Calculer $P(X\le 2)$ et $P(X\ge 3)$.

Partie B — Loi normale

3. La durée de vie $D$ suit $\mathcal{N}(1500;120^2)$.

a. Calculer $P(D\ge 1500)$.

b. Calculer $P(1380\le D\le 1620)$.

c. Déterminer $t$ tel que $P(D<t)\le 5\%$.

Partie C — Estimation

4. Intervalle de confiance à $95\%$ pour $n=625$, $f=0,04$.

Exercice 4 — Suites (7 points)

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et $u_{n+1}=\frac{1}{2}{u}_n+\frac{3}{2u_n}$.

Partie A — Convergence

1. En admettant la convergence vers $\ell >0$, déterminer $\ell$.

2. Montrer que $u_{n+1}-\sqrt{3}=\frac{(u_n-\sqrt{3}{)}^2}{2u_n}$. En déduire que $u_n\ge \sqrt{3}\Rightarrow u_{n+1}\ge \sqrt{3}$.

3. Démontrer par récurrence que $u_n\ge \sqrt{3}$ pour tout $n\ge 0$.

Partie B — Monotonie

4. Montrer que $u_{n+1}-u_n=\frac{3-u_n^2}{2u_n}$. En déduire la monotonie de $(u_n)$.

5. Conclure sur la convergence.

Partie C — Suite auxiliaire

6. On pose $v_n=u_n^2-3$.

a. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique.

b. Exprimer $v_n$ puis $u_n^2$ en fonction de $n$.

c. Vérifier que $\underset{no+\infty }{\lim }{u}_n=\sqrt{3}$.