Bac spécialité Maths — Métropole, 12 mai 2022 (Jour 2)

Durée : 4 heures. L'usage de la calculatrice est autorisé. Le sujet propose 4 exercices. Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Exercice 1 (7 points)

Thème : probabilités

Le coyote est un animal sauvage proche du loup, qui vit en Amérique du Nord. Dans l'état d'Oklahoma, aux États-Unis, 70 % des coyotes sont touchés par une maladie appelée ehrlichiose.

Il existe un test aidant à la détection de cette maladie. Lorsque ce test est appliqué à un coyote, son résultat est soit positif, soit négatif, et on sait que :

• Si le coyote est malade, le test est positif dans 97 % des cas.
• Si le coyote n'est pas malade, le test est négatif dans 95 % des cas.

Partie A

Des vétérinaires capturent un coyote d'Oklahoma au hasard et lui font subir un test pour l'ehrlichiose. On considère les évènements suivants :

• $M$ : « le coyote est malade » ;
• $T$ : « le test du coyote est positif ».

On note $\overline{M}$ et $\overline{T}$ respectivement les évènements contraires de $M$ et $T$.

1. Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous qui modélise la situation.
   [Figure : arbre pondéré à compléter. Premier niveau : branches $M$ et $\overline{M}$. Second niveau à partir de $M$ : branches $T$ et $\overline{T}$ ; second niveau à partir de $\overline{M}$ : branches $T$ et $\overline{T}$. Toutes les probabilités sont à compléter.]
2. Déterminer la probabilité que le coyote soit malade et que son test soit positif.
3. Démontrer que la probabilité de $T$ est égale à $0,694$.
4. On appelle « valeur prédictive positive du test » la probabilité que le coyote soit effectivement malade sachant que son test est positif. Calculer la valeur prédictive positive du test. On arrondira le résultat au millième.
5. 1. Par analogie avec la question précédente, proposer une définition de la « valeur prédictive négative du test » et calculer cette valeur en arrondissant au millième.
   2. Comparer les valeurs prédictives positive et négative du test, et interpréter.

Partie B

On rappelle que la probabilité qu'un coyote capturé au hasard présente un test positif est de $0,694$.

1. Lorsqu'on capture au hasard cinq coyotes, on assimile ce choix à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui à un échantillon de cinq coyotes capturés au hasard associe le nombre de coyotes dans cet échantillon ayant un test positif.
   1. Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$ ? Justifier et préciser ses paramètres.
   2. Calculer la probabilité que dans un échantillon de cinq coyotes capturés au hasard, un seul ait un test positif. On arrondira le résultat au centième.
   3. Un vétérinaire affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'au moins quatre coyotes sur cinq aient un test positif : cette affirmation est-elle vraie ? Justifier la réponse.
2. Pour tester des médicaments, les vétérinaires ont besoin de disposer d'un coyote présentant un test positif. Combien doivent-ils capturer de coyotes pour que la probabilité qu'au moins l'un d'entre eux présente un test positif soit supérieure à $0,99$ ?

Exercice 2 (7 points)

Thèmes : fonctions numériques et suites

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

Pour les questions 1 à 3 ci-dessous, on considère une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$. La courbe de sa fonction dérivée $f^{\prime }$ est donnée ci-dessous. On admet que $f^{\prime }$ admet un maximum en $-\frac{3}{2}$ et que sa courbe coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées $\left(-\frac{1}{2};0\right)$.

[Figure : courbe représentative de la fonction dérivée $f^{\prime }$. C'est une courbe en forme de cloche (parabole tournée vers le bas) : $f^{\prime }$ est croissante jusqu'à son maximum atteint en $x=-\frac{3}{2}$, puis décroissante. Elle coupe l'axe des abscisses (en changeant de signe, du positif au négatif) au point d'abscisse $-\frac{1}{2}$.]

Question 1 :

1. La fonction $f$ admet un maximum en $-\frac{3}{2}$ ;
2. La fonction $f$ admet un maximum en $-\frac{1}{2}$ ;
3. La fonction $f$ admet un minimum en $-\frac{1}{2}$ ;
4. Au point d'abscisse $-1$, la courbe de la fonction $f$ admet une tangente horizontale.

Question 2 :

1. La fonction $f$ est convexe sur $\left]-\infty ;-\frac{3}{2}\right]$ ;
2. La fonction $f$ est convexe sur $\left]-\infty ;-\frac{1}{2}\right]$ ;
3. La courbe $C_f$ représentant la fonction $f$ n'admet pas de point d'inflexion ;
4. La fonction $f$ est concave sur $\left]-\infty ;-\frac{1}{2}\right]$.

Question 3 :

La dérivée seconde $f^{\prime \prime }$ de la fonction $f$ vérifie :

1. $f^{\prime \prime }(x)⩾0$ pour $x\in \left]-\infty ;-\frac{1}{2}\right]$ ;
2. $f^{\prime \prime }(x)⩾0$ pour $x\in [-2;-1]$ ;
3. $f^{\prime \prime }\left(-\frac{3}{2}\right)=0$ ;
4. $f^{\prime \prime }(-3)=0$.

Question 4 :

On considère trois suites $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$. On sait que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n⩽v_n⩽w_n$ et de plus : $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=1$ et $\underset{n\to +\infty }{\lim }{w}_n=3$. On peut alors affirmer que :

1. la suite $(v_n)$ converge ;
2. Si la suite $(u_n)$ est croissante alors la suite $(v_n)$ est minorée par $u_0$ ;
3. $1⩽v_0⩽3$ ;
4. la suite $(v_n)$ diverge.

Question 5 :

On considère une suite $(u_n)$ telle que, pour tout entier naturel $n$ non nul : $u_n⩽u_{n+1}⩽\frac{1}{n}$. On peut alors affirmer que :

1. la suite $(u_n)$ diverge ;
2. la suite $(u_n)$ converge ;
3. $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=0$ ;
4. $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=1$.

Question 6 :

On considère $(u_n)$ une suite réelle telle que pour tout entier naturel $n$, on a : $n<u_n<n+1$. On peut affirmer que :

1. Il existe un entier naturel $N$ tel que $u_N$ est un entier ;
2. la suite $(u_n)$ est croissante ;
3. la suite $(u_n)$ est convergente ;
4. La suite $(u_n)$ n'a pas de limite.

Exercice 3 (7 points)

Thème : géométrie dans l'espace

On considère un cube $ABCDEFGH$ et on appelle $K$ le milieu du segment $[BC]$. On se place dans le repère $\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)$ et on considère le tétraèdre $EFGK$.

[Figure : cube $ABCDEFGH$ avec la face inférieure $ABCD$ et la face supérieure $EFGH$ ($E$ au-dessus de $A$, $F$ au-dessus de $B$, $G$ au-dessus de $C$, $H$ au-dessus de $D$). $K$ est le milieu de l'arête $[BC]$.]

On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par : $V=\frac{1}{3}\times B\times h$ où $B$ désigne l'aire d'une base et $h$ la hauteur relative à cette base.

1. Préciser les coordonnées des points $E$, $F$, $G$ et $K$.
2. Montrer que le vecteur $\vec{n}\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ est orthogonal au plan $(EGK)$.
3. Démontrer que le plan $(EGK)$ admet pour équation cartésienne : $2x-2y+z-1=0$.
4. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$ orthogonale au plan $(EGK)$ passant par $F$.
5. Montrer que le projeté orthogonal $L$ de $F$ sur le plan $(EGK)$ a pour coordonnées $\left(\frac{5}{9};\frac{4}{9};\frac{7}{9}\right)$.
6. Justifier que la longueur $LF$ est égale à $\frac{2}{3}$.
7. Calculer l'aire du triangle $EFG$. En déduire que le volume du tétraèdre $EFGK$ est égal à $\frac{1}{6}$.
8. Déduire des questions précédentes l'aire du triangle $EGK$.
9. On considère les points $P$ milieu du segment $[EG]$, $M$ milieu du segment $[EK]$ et $N$ milieu du segment $[GK]$. Déterminer le volume du tétraèdre $FPMN$.

Exercice 4 (7 points)

Thèmes : fonctions numériques, fonction exponentielle

Partie A : études de deux fonctions

On considère les deux fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle $[0;+\infty [$ par :

$f(x)=0,06\left(-x^2+13,7x\right)$ et $g(x)=(-0,15x+2,2)e^{0,2x}-2,2$.

On admet que les fonctions $f$ et $g$ sont dérivables et on note $f^{\prime }$ et $g^{\prime }$ leurs fonctions dérivées respectives.

1. On donne le tableau de variations complet de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0;+\infty [$.
   [Tableau de variations de $f$ sur $[0;+\infty [$ : $f$ croît de $f(0)=0$ jusqu'à $f(6,85)$ atteint en $x=6,85$, puis décroît de $f(6,85)$ vers $-\infty$.]
   1. Justifier la limite de $f$ en $+\infty$.
   2. Justifier les variations de la fonction $f$.
   3. Résoudre l'équation $f(x)=0$.
2. 1. Déterminer la limite de $g$ en $+\infty$.
   2. Démontrer que, pour tout réel $x$ appartenant à $[0;+\infty [$ on a : $g^{\prime }(x)=(-0,03x+0,29)e^{0,2x}$.
   3. Étudier les variations de la fonction $g$ et dresser son tableau de variations sur $[0;+\infty [$. Préciser une valeur approchée à $10^{-2}$ près du maximum de $g$.
   4. Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution non nulle et déterminer, à $10^{-2}$ près, une valeur approchée de cette solution.

Partie B : trajectoires d'une balle de golf

Pour frapper la balle, un joueur de golf utilise un instrument appelé « club » de golf. On souhaite exploiter les fonctions $f$ et $g$ étudiées en Partie A pour modéliser de deux façons différentes la trajectoire d'une balle de golf. On suppose que le terrain est parfaitement plat. On admettra ici que $13,7$ est la valeur qui annule la fonction $f$ et une approximation de la valeur qui annule la fonction $g$.

[Figure : représentations graphiques des courbes $C_f$ et $C_g$ sur l'intervalle $[0;13,7]$, en forme d'arches partant de l'origine et revenant à l'axe des abscisses en $x=13,7$.]

Pour $x$ représentant la distance horizontale parcourue par la balle en dizaine de yards après la frappe (avec $0<x<13,7$), $f(x)$ (ou $g(x)$ selon le modèle) représente la hauteur correspondante de la balle par rapport au sol, en dizaine de yards (1 yard correspond à environ $0,914$ mètre).

On appelle « angle de décollage » de la balle, l'angle entre l'axe des abscisses et la tangente à la courbe ($C_f$ ou $C_g$ selon le modèle) en son point d'abscisse $0$. Une mesure de l'angle de décollage de la balle est un nombre réel $d$ tel que $\tan (d)$ est égal au coefficient directeur de cette tangente.

De même, on appelle « angle d'atterrissage » de la balle, l'angle entre l'axe des abscisses et la tangente à la courbe ($C_f$ ou $C_g$ selon le modèle) en son point d'abscisse $13,7$. Une mesure de l'angle d'atterrissage de la balle est un nombre réel $a$ tel que $\tan (a)$ est égal à l'opposé du coefficient directeur de cette tangente. Tous les angles sont mesurés en degré.

1. Première modélisation : on rappelle qu'ici, l'unité étant la dizaine de yards, $x$ représente la distance horizontale parcourue par la balle après la frappe et $f(x)$ la hauteur correspondante de la balle. Selon ce modèle :
   1. Quelle est la hauteur maximale, en yard, atteinte par la balle au cours de sa trajectoire ?
   2. Vérifier que $f^{\prime }(0)=0,822$.
   3. Donner une mesure en degré de l'angle de décollage de la balle, arrondie au dixième. (On pourra éventuellement utiliser le tableau ci-dessous.)
   4. Quelle propriété graphique de la courbe $C_f$ permet de justifier que les angles de décollage et d'atterrissage de la balle sont égaux ?
2. Seconde modélisation : on rappelle qu'ici, l'unité étant la dizaine de yards, $x$ représente la distance horizontale parcourue par la balle après la frappe et $g(x)$ la hauteur correspondante de la balle. Selon ce modèle :
   1. Quelle est la hauteur maximale, en yard, atteinte par la balle au cours de sa trajectoire ? On précise que $g^{\prime }(0)=0,29$ et $g^{\prime }(13,7)\approx -1,87$.
   2. Donner une mesure en degré de l'angle de décollage de la balle, arrondie au dixième. (On pourra éventuellement utiliser le tableau ci-dessous.)
   3. Justifier que $62$ est une valeur approchée, arrondie à l'unité près, d'une mesure en degré de l'angle d'atterrissage de la balle.

Tableau : extrait d'une feuille de calcul donnant une mesure en degré d'un angle quand on connaît sa tangente :

[Tableau — ligne $\tan (\theta )$ : 0,815 ; 0,816 ; 0,817 ; 0,818 ; 0,819 ; 0,82 ; 0,821 ; 0,822 ; 0,823 ; 0,824 ; 0,825 ; 0,826 — ligne $\theta$ en degrés : 39,18 ; 39,21 ; 39,25 ; 39,28 ; 39,32 ; 39,35 ; 39,39 ; 39,42 ; 39,45 ; 39,49 ; 39,52 ; 39,56. Puis ligne $\tan (\theta )$ : 0,285 ; 0,286 ; 0,287 ; 0,288 ; 0,289 ; 0,29 ; 0,291 ; 0,292 ; 0,293 ; 0,294 ; 0,295 ; 0,296 — ligne $\theta$ en degrés : 15,91 ; 15,96 ; 16,01 ; 16,07 ; 16,12 ; 16,17 ; 16,23 ; 16,28 ; 16,33 ; 16,38 ; 16,44 ; 16,49.]

Partie C : interrogation des modèles

À partir d'un grand nombre d'observations des performances de joueurs professionnels, on a obtenu les résultats moyens suivants :

[Tableau — Angle de décollage en degré : 24 ; Hauteur maximale en yard : 32 ; Angle d'atterrissage en degré : 52 ; Distance horizontale en yard au point de chute : 137.]

Quel modèle, parmi les deux étudiés précédemment, semble le plus adapté pour décrire la frappe de la balle par un joueur professionnel ? La réponse sera justifiée.